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§. Z. Von den reellen und imaginären Wurzeln der beiden Größen
-f- 1, — 1/ und von deren gebrochenen Potenzen.
Es seien m und n Primzahlen unter sich. Macht man
mm von den im ersten Paragraphen eingeführten Zeichen Ge
brauch, so werden die n ten Wurzeln der Einheit, oder, was
1
dasselbe ist, ihre Potenzen die verschiedenen Werthe von
«rv = <(i)ss
sein; desgleichen werden die positiven oder negativen gebrochenen
, rri m
Potenzen von 1, vom Grade oder — die verschiedenen
Werthe von
■' ((l)) n oder von ((!)) n
sein. Hieraus ergibt sich: daß man, um diese Wurzeln oder
Potenzen zu bestimmen, nach einander folgende drei Aufgaben
zu lösen haben wird.
Aufgabe 1. Die verschiedenen reellen oder ima-
1
ginaren Werthe des Ausdrucks ((l)) n zu finden.
Auflösung. Es sei x einer von diesen Werthen, und
wir wollen, um diesen Werth unter eine Form zu bringen,
welche sowohl den reellen Größen, als auch den imaginären
Ausdrücken entspricht,
x = r (cos. t + i sin. t)
setzen, wo r eine positive Größe, t aber einen reellen Bogen be-
zeichnet, so ist nach der Definition des Ausdrucks ((l)) n
(1) x» = 1
oder, was dasselbe ist,
r n [cos. nt -J- i sin. nt] = 1;
woraus, nach §. 2., Lehrst 1., folgt:
r n = 1
cos. n t 4- i sin. nt = 1;
mithin