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( 2 k + 1) 7T . . (2k + l)7T 
(12) X — cos. + 1 sin. , 
v ' n — n 
oder, was dasselbe ist, durch die Gleichung 
(13) (( — 1))' 11 = cos. — ~ : - + isin 
gegeben sein, da 
(2k + i)n t (2k+l)7t 
x = ((-!)) n ist. 
Es sei nun k diejenige ganze Zahl, welche dem Quotienten 
°k4-l 
—— am nächsten liegt; so wird die Differenz zwischen den 
2k+ 1 
beiden Zahlen h, 
2 n 
offenbar ein Bruch mit ungeradem 
Zahlerund kleiner oder höchstens eben so groß als 4- fein, so daß 
man haben wird 
2k+ 1 
h + 
(2k'+ 1) 
2 n — 2n 
wo 2k' + l eine ungerade Zahl bedeutet, welche gleich n oder- 
kleiner als n ist. Hieraus ergibt sich 
< 2k +A h = 2h7l+ (JK±ll-, 
(2k +1)tr , . . (2k+ 1)tt 
cos. + 1 sin. 
n n 
(2k'+ i\n , . . (2k'+ \)n 
— cos. r X sin. . 
Mithin sind alle Werthe von ((—-l)) n durch die Formel 
(2k'+ 1)7r . . . (2k'+ 1)tt 
cos. + i sin. , 
n ii 
oder durch die Formel (13) gegeben; jedoch muß 2 k'+ 1 oder 
2k+1 beständig zwischen 0 und n liegen. 
v Zusatz 1. Ist n gerade, so sind die Werthe, welche 
2k+1 haben kann, respective 
1, 3, ü, , (n — 1). 
Für jeden dieser Werthe erhalt man aus (13) zwei gepaarte