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Werthe, d. h., die Anzahl der Werthe von x, welche der Glei
chung x» — — 1 Genüge leisten, ist immer n.
Aufgübe 5. Die verschiedenen reellen oder ima
ginären Werthe von ’((— 1)) 11 zu finden.
Auflösung. Es seien in und n Primzahlen unter sich;
so hat man, nach der Definition von ((— 1))«’,
m r _i_n m
(( — !))“ = L((—l>s n J ,
imb setzt man für ((—l)) n seinen allgemeinen Werth aus
(13), so findet man
(16) ((-1)^
in (2k-j-l) 7i . . m(2k-f-l)7i
cos, — !— {- 1 sin. — ——.
jn
Um aus dieser Formel alle Werthe von ((— l)) n abzu
leiten, darf man nur successive für 21*4-1 alle ganzen und
ungeraden Zahlen zwischen 0 und n setzen. Es seien 2k^-s-1,
2k"+ 1 zwei dieser Werthe, und zwar ungleiche, so behaupte
ich, daß
(2k'-f- 1 )n m . (2k"-j-1)tt
cos. —, cos. ——
n n
nicht einerlei Werth haben können. Da nämlich diese Cosinusse
nur dann einander gleich sein können, wenn zwischen den ihnen
correspondirenden Vogen eine Gleichung von der Form
ni(2kM-1)7E 21^ , m (2k"-{- 1)te
n — ~ — ix
stattfindet, wo k eine ganze Zahl bezeichnet; da man ferner
aus dieser Gleichung erhalt
+ (2k'+l) : f : (2k"-i-l)‘]
2 J,
n
so müßte, da in und n Primzahlen unter sich sind, die Zahl
±(2k'+ 1) + (2k"+ 1)
2 ’
durch n theilbar sein; was aber nicht der Fall sein kann, indem