155
die Zahlen 2k'+l, 2k"-f-1, von welchen keine größer als n
sein kann, ungleich sind; so daß also ihre halbe Summe, um
so mehr ihre halbe Differenz, nothwendig kleiner als n sein muß.
Für zwei verschiedene Werthe von 2k -j- 1, welche zwischen den
Grenzen 0 und n liegen, erhält man demnach auch zwei ver
schiedene Werthe von
m(2k-f-l)7r
cos. ;
n
woraus sich denn gar leicht ergibt, daß die Anzahl der durch die
Gleichung (16) gegebenen Werthe von ((—l)) 11 n betragt,
T _ 1_
wie dies auch bei ((1))" und ((— l))~ n der Fall ist. Man
hat aber auch offenbar
in (2k 4-1)75 . . . m (2k +
— + i sin.- 1
n — ii J
— cos. m (2k + 1) Tr +-i . sin. m (2k -f- 1) n
— (—l) m — + lj
woraus denn folgt, daß jeder Werth von ((— l)) n ein reeller
oder imaginärer Ausdruck ist, dessen n^ Potenz gleich + 1 ist;
folglich ist er auch ein Werth von ((1))** oder von ((—l)) n .
Es ist mithin
(17) ((-1)F= ((-!»*,
so oft (—1 ) m = 1 ist, d. h., so oft in eine gerade Zahl ist, und
(18) ((-l))^ = ((!])“,
so oft ((— l)) ra =—1, d. h. so oft NI eine ungerade Zahl
ist. Die Formeln (17) und (18) lassen sich auch in folgende zu
sammenziehen :
m i
(19) (( —!))“=(( Mi“ )) _i .
Aufgabe 6. Die verschiedenen reellen oder
imaginären Werthe von (( — 1)) " zu finden.