Zusatz 1. Setzt man in (9) successive 
ui = 2, m = 4, in = 6, etc. . 
so erhalt man 
- co8. 2z = 1—2 cos. z 2 , 
cos. 4z — 1 — 8 cos. z 2 -f-8 cos. z 4 
(13) \ — COS. 6z = l—18 cos. z 2 + 48 cos, z 4 — 32 cos, z 6 , 
etc 
Zusatz 2. Setzt man in (12) successive 
ni — 1, m = 3, m — 0, etc 
so ergibt sich 
— cos. 3z—3 cos. z — 4cos, z 3 , 
cos, 5 Z==5 cos. z —20 cos. z 3 -j-16 cos. z s , 
Aufgabe 3. Die ganzen Potenzen von Lin. z 
und von COS. z als lineare Functionen der Sinus 
und Cosinus von z, 2z, 3z, etc auszudrücken. 
Auflösung. Diese 7tufgabe ist überaus leicht aufzulösen, 
wenn man sich nur der bekannten Eigenschaften der gepaarten 
imaginären Ausdrücke 
COS. z -j-i . sin. z, cos. z — i . sin. z 
erinnert. Bezeichnet man den ersten durch u, den zweiten durch 
v, so findet man 
2 COS. Z t=Z U V 
2 sin. z , i = u — v. 
Erhebt man beide Theile dieser Gleichungen auf die Potenz; 
dividirt man sodann durch 2 oder durch 2 i; reducirt man end 
lich mit Rücksicht auf die Formeln