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Genüge leistet; desgleichen, wenn dies in Beziehung auf eine 
der Gleichungen 
(3) vj (xy) = ct(x) + cr(y) 
(4) w (xy) = ®j(x) . rar(y) 
der Fall ist. Wir wollen diese vier Gleichungen der Reihe mch 
auflösen, wodurch wir vier Aufgaben erhalten, welche denen 
sehr ähnlich sind, die wir Cap. 5., §. 1. behandelt haben. 
Aufgabe 1. Eine imaginäre Function w (x) 
so zu bestimmen, daß sie zwischen zweien beliebigen 
reellen Grenzen von x stetig ist, und daß die Glei 
chung 
(1) rn (x + y) = er (x) + w (y) 
für alle reellen Werthe von x und y gilt. 
Auflösung. Setzt man-in (1) 
ro (x) — cf (x) + i / (x), 
so verwandelt sich diese Gleichung in 
cp: (x+y)+i. x (x+y) = 9 (x)+i z ( x ) + 9(y) + [ x (y)- 
Setzt man alles Reelle in beiden Theilen und außerdem die 
Coesficienten von i einander gleich, so findet man 
4 ( x + y) = 9 ( x ) + 9 ij) 
x ( x + y) = /( x ) + x (y)- 
Aus diesen Formeln erhalt man nach Cap. 5., §. 1., Aufg. 1. 
9 ( x ) = x 9 (1)/ 
/ ( x ) — x / (1); 
mithin 
(5) fc*( x ) — x [y(i) + j/ • (i)]/ 
oder, was dasselbe ist, 
(6) 67 (x) — x . er (1). 
Aus (5) ergibt sich, daß jeder Werth von uy (x), wel 
cher der vorliegenden Ausgabe entsprechen soll, nothwendig von 
der Form 
(7) xa (x) = (a + b i)x 
sein muß, wo a und b Constanten sind. Es ist übrigens 
leicht einzusehen, daß ein Werth von dieser Form, unabhängig 
von jedem besonderen Werthe von a und b der Gleichung (1) 
Genüge leistet. Diese Größen sind demnach willkürliche Eon-