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Setzt man nun für x seinen Werth und entwickelt
man die zweiten Theile, so findet man
ei* _j_ e~ß ei* — e““i*
(9)
cos. x;
sin. x;
2
e ß -f- e -ß
. cos. a ■
2
. sin. ce. i
. ei* — e _ i* .
. sin. a + — . cos, « . i
— cos. — a—ßiy
Die drei Bezeichnungen
A x , sin, x, cos. x
bedeuten also in dem angenommenen Falle so viel als die ima
ginären Ausdrücke
A“ [cos. (/?. 1A) -f- i sin. (/?. lA)J f
ei* -J- e“i*
1
ei* + e~i*
sin. cf -j-
ei* — e~i*
I cos. Ck,
COS. Cf ■
(ei* — e“i*)
2 2
Setzt man A — e, so ergibt sich aus (7)
. sin. cs.
e x = e" (cos. ß 1 sin. /2).
Es fragt sich nun noch, was unter
Lx, arc. sin. x, arc. cos. x,
oder allgemeiner, unter
L ((x)), arc. sin. ((x)), arc. COS. ((x))
zu verstehen ist, wenn x imaginär wird?
Es sei wiederum
x — ßi=q (cos. 8 -f- i sin. 6),
wo a und ß zwei reelle Größen bedeuten, statt deren auch der
Modulus q und der Bogen 6 eingeführt werden können. Jeder
imaginäre Ausdruck u+vi, welcher der Gleichung
(10) A u + vi = a + ßi ■= x
Genüge leistet, ist ein sogenannter imaginärer Logarith
mus von x, in dem System, dessen Grundzahl A ist. Da
die Gleichung (10), wie nachher gezeigt werden wird, mehrere
Werthe von u + vi liefert, selbst dann, wenn ß = 0 ist, so
hat jede reelle oder imaginäre Größe mehrere Logarithmen.