~ 1 (a- +/J> ) +i. (arc. lang. -£)+ !((!)),
11 («=+£’-) +i . (arc. tang. -£) + 1 ((-1».
Zusatz 2. Setzt man in (22) und (23) /9 — 0, so er
halt man für positive Werthe von a
(24) 1 ((«))== 1« + 1 ((!)) = !« + 2ik n,
und für negative Werthe von a
(25) 1 ((«))=!(—«) + 1((—1)) = 1(-«) ± (2k+l). in,
wo k immer eine ganze Zahl sein muß. — Aus dieser Formel
folgt, daß eine reelle Größe a unendlich viele Logarithmen hat,
unter welchen nur einer reell ist, und diesen Einen auch dann
nur, wenn « positiv ist. Diesen reellen Logarithmus, den wir
durch 1 («) oder durch 1« bezeichnen, erhalt man, wenn man
in (24) k — 0 setzt.
Anmerkung. Unter den Werthen von 1 ((!)) ist, wie
schon bemerkt, einer, und zwar 1 (1) — 11, gleich Null.
Substituirt man diesen besonderen Werth in (22), so erhalt
man den correspondirenden Werth von 1 ((« + /?!)), welchen
wir der Analogie wegen durch 1 (a-j-/9i) bezeichnen wollen.
Mithin ist
(26) l{«+/9i)=il( B *+/J*) + i(arc. taug.-£-).
Ist a negativ, also — a positiv, so erhält man
1(— a — ßi)~ “l(a 2 +ß*) + i(arc. tang. —
oder, was dasselbe ist,