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a n/ a n—11 a n—2 - - a n—m
lineär ist und für die erste dieser Constanten eine lineäre Fun
ction aller übrigen geben wird, so folgt, daß in der Reihe
(10) a 0 , a,x, a 2 x 2
, a n x n , etc.... ,
vom Gliede a m x m an gerechnet, der Coefstcient irgend einer
Potenz von x durch eine lineare Function der Coefsicienten der
m vorhergehenden Potenzen ausgedrückt wird, und daß also die
Reihe zu denjenigen gehört, welche wir recurrent genannt haben.
Unter den verschiedenen besondern Formeln, welche man
aus (3) ableiten kann, verdienen diejenigen besonders gemerkt
zu werden, welche den beiden Annahmen m = 1 und m = 2
entsprechen. Man findet im ersten Falle
und im zweiten Falle
Die beiden vorstehenden Formeln, von welchen die erste
die Summe einer geometrischen Progression bestimmt, gelten,
so wie die Formel (3), so oft der Modulus von x kleiner als
der von a ist.
Setzt man in (2)
A = 1, a = 1
so erhalt man die Gleichung
(13) = l + 2x + 3x 2 +4x 3 + etc....,
v x - 1 -)
deren zweiter Theil der Summe der Reihe (2), (§. 1.) gleich
ist, und bei welcher der Modulus von x kleiner als die Ein
heit sein muß. Wir wollen nun einen beliebigen rationalen
Bruch
betrachten. — Es seien a, b, c,... die verschiedenen Wurzeln
der Gleichung
(15)
F (x) = 0,