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A > B,
A' > B',
A" > B",
etc ,
unterworfen, so ist auch
AA' A"...> BB' B"...
Beweis. Da die Differenzen
A —B, A'— B', A"~B",...
der Annahme gemäß positiv sind, so müssen auch
die Producte
(A — B) A' Ä ff ... = A A' A*... — B A' A'...,
B (A' — B') A" .., = B A' A"... -BB'A"...,
BB'( A" —B") ... = BB / A tf ... —- B B' B"...,
etc
positiv sein, mithin wird es auch ihre Summe
A A' A"... — B B' B"...
sein.
Lehrsatz 3. Es seien a, b, r beliebige Größen,
und
a > b,
so ist, wenn r positiv ist,
ra rb ,
und wenn r negativ ist,
„r a rb.
Beweis. Das Product
1' (a — b) = ra — rb
ist in der That im ersten Falle positiv, im zweiten negativ.
Zusatz. Sind a und b positiv, und setzt man successive
1 1
so erhält man
b '
1 > T' f >*•
Man kommt hier auf den an sich evidenten Satz zurück, daß
ein Bruch größer oder kleiner als 1 ist, je nachdem der Zahler
größer als der Nenner, oder der Nenner größer als der Zahler ist.
Lehrsatz 4. Es seien A und A' Zahlen, und
A > A'j