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e ---- 2,7182318... ist, so ist auch für
B > B',
1B > 1B'.
Wir wollen zu den vorstehenden Lehrsätzen noch folgenden
hinzufügen, aus welchem sich mehrere wichtige Wahrheiten ab
leiten lassen.
Lehrsatz 7. Es sei x eine beliebige von Null
verschiedene Größe, so ist
(2) 1 -j- x e x (
wo e, wie gewöhnlich, die Grundzah l der natür
lichen Logarithmen bedeutet.
Beweis. Da der zweite Theil der Formel (2) immer
positiv bleibt, so ist unser Satz an sich evident, wenn 1 -j- x
negativ ist. Wir brauchen also nur noch den Fall zu unter
suchen, wo
(3) l + x>Oiji,
Nun ist aber, nach Cap. 6., §. 4., Gleich. (23),
(4)
. . X x~ X J
1 +.-J- +Y2i > 3
+
+e tc.
1.2.3.4 ' 1.2.3.4.5
1 + * + y (i:+1) + 2^ (l + y) + etc....,
und da die Products
X 2 f A X\ x 4 / X \
t( 1 + 3)' 2ji( 1 + T/' e,c —
nicht allein dann positiv sind, wenn x positiv ist, sondern auch
dann, wenn x negativ und kleiner als 1 ist, so folgt, so oft
der Bedingung (3) Genüge geleistet wird, aus (4)
6* > 1 + X.
Zusatz 1. Ist 1 -h x positiv, und nimmt man die na
türlichen Logarithmen von beiden Theilen der Formel (2), so
erhalt man nach Lehrs. 6., Zus.
(5) 1(1 + x)<x;
eilte Formel, welche immer gilt, wenn ihr erster Theil reell ist.
Zusatz 2. Es sei
(6) l + y>0, 1 + z > 0, etc....,
so ist nach Formel (2)
1 + x < e x , 1 + y <C , 1 + z < ß z: etc ,