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mithin nach Lehrs. 2.
(7) (l + x)(l + y)(l + z)...<eC*+y+-...)
eine Formel, welche so lange gilt, als die Factoren des ersten
Theiles positiv sind.
Zusatz 3. Setzt man im vorigen Zusatz
X — a u, y = az — a,
wo «, positive Größen, und die Größen a, a', a"..
respective größer als
1 _ _!■
« ' £// ' u" ' ’
sind, so verwandelt sich die Formel (7) in
(1-s-att) (1+aV) (1+aV)... < e (a«+aV+aV'.„)
Sind ferner die Größen a, a\ a",... sämmtlich kleiner als
eine gewisse Grenze A, so ist nach Lehrsatz 1 und 2.
a « + a-J- a"«"... A (a + a' + a"...),
mithin auch
(8) (1 + aa) (1 + aVj(l + a "a"). .. < e A
Die Formel (8) laßt sich mit Vortheil bei der näherungsweisen
Integration der Differentialgleichungen anwenden.
Wir wollen gegenwärtig zu denjenigen Lehrsätzen übergehen,
in welchen von mittleren Größen (Mitteln) die Rede ist. Eine
mittlere Größe (ein Mittel) zwischen mehreren gegebenen
Größen ist, wie wir bereits aus den Vorerinnerungen wissen,
eine neue Größe, welche zwischen der kleinsten und der größten
unter den gegebenen Größen liegt. Dieser gegebenen Erklärung
gemäß ist h das Mittel zwischen den beiden Größen g, k,
oder ein Mittel zwischen mehreren Größen, unter welchen jene
beiden die größte und die kleinste sind, wenn die beiden
Differenzen
g — h, h — k
einerlei Zeichen haben. Bedient man sich nun zur Bezeichnung
eines Mittels zwischen den Größen a, a', a". .., wie in den
Vorerinnerungen geschah, der Bezeichnungsart
(9) ‘ M (a, a' a". . . . ),
so wird man ohne Mühe folgende Sätze aufstellen können.
Lehrsatz 8. Es sei
h = M(a, a', a"...),
und r eine beliebige Größe, so ist beständig
(10) r h = M (r a, r a', r a",. • • )•
Deweis. Ist g die größte, und k die kleinste unter
den Größen a, a', a"..,, so werden die Differenzen