Zwischen x, und X' gibt es nun gewiß zwei andere Werthe 
x 3 , X", welche für X in 5 (x) substituirt, zwei Resultate von 
entgegengesetzten Zeichen ergeben und den Bedingungen 
X* < x a < X" < X', und 
X'-x 2 =-^-(X'-x.) = ^(X-x,) 
entsprechen. Fahrt man so fort, so erhalt man 1) eine Reihe 
von zunehmenden Werthen von x 
(2) x 0 / x i , x a / x 3 f etc...., 
2) eine Reihe von abnehmenden Werthen 
(3) X, X', X", etc...., 
welche die ersteren respective um die Products 
1 X(^ x o)/ x o)» H x o)/ Etc. 
übersteigen und zuletzt den Werthen in der ersten Reihe beliebig nahe 
kommen werden. Hieraus folgt, daß die allgemeinen Glieder 
der Reihen (2) und (3) sich einer gemeinschaftlichen Grenze 
nahem. Diese Grenze sei a. Da nun die Function k (x) 
zwischen x = x 0 und x — X stetig ist, so werden sich die 
allgemeinen Glieder der Reihen 
f ( x o), f ( x i)/ k.(x,), etc. . . 
f (X), f (XO, f'(X"), etc.... 
gleichfalls der gemeinschaftlichen Grenze t (a) nähern, und da 
sie beständig entgegengesetzte Zeichen haben, so muß offenbar 
diese Grenze k (a) = 0 sein. Man wird daher der Gleichung 
(1) L' (x) — 0 
Genüge leisten, wenn man für x den zwischen x 0 und X lie 
genden Werth a setzt; mit anderen Worten: 
(4) x = a 
wird eine Wurzel der Gleichung (1) sein.