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Verbindet man ebenso die drei Formeln 
9>( a ) = /(a), *( a ) >*(*!>» X (x, ) == y (x 2 ), 
von denen die zweite sich unmittelbar aus Formel (9) ergibt, so 
findet man: 
<P (a) > ff (x 2 ) 
mithin 
(10) a > x 2 . 
Fährt man so fort, so wird man sich überzeugen, daß alle Glie 
der der Reihe (6) kleiner als die Wurzel a sind. Ich behaupte 
aber auch, daß die Glieder dieser Reihe immer größer und grö 
ßer werden. Da nämlich die Differenz 
<P ( x ) — / ( x ) 
für x = x 0 negativ ist, so ist auch 
<P ( x o) < X ( x o)- 
Nun ist aber 
/ ( x o) — <p (x,); also auch 
ff ( x o) <y( x i)/ oder 
(11) x < x,. 
Da ferner x, zwischen x 0 und a liegt, so kann keine reelle 
Wurzel der Gleichung ff (x) — / (x) = 0 zwischen x 0 
und x, liegen; mithin müssen (nach Lehrs. 1, Aus. 1.) die 
Größen ff (x 0 )—/(x 0 ), y(x,)— ¿(x,) einerlei Zeichen 
haben, d. h. sie müssen beide negativ sein. Es ist demnach 
fp ( x i) < X ( x i), 
mithin auch (da / (x,) —^(x 2 ) ist), 
<P ( x i) < P ( x 2 )/ 
< x ; 
etc. 
etc. 
(12) 
Die Größen 
X 0 • 1 f a 2 > 
bilden demnach eine Reihe, deren allgemeines Glied x„ zugleich 
mit n beständig zunimmt, ohne jedoch größer als a werden 
zu können. Es wird sich nothwendigerweise also einer Grenze 
nähern, welche gleich a oder kleiner als a ist, und diese Grenze 
sei 1. Da nach (6) 
fp ( x n+l) — * ( x a) 
ist, so wird für n — oo 
(13) 9> (!) = *(!) 
sein. Die Größe 1 wird also selbst eine Wurzel der Gleichung 
(1) sein, und da diese Größe größer als x a ist, ohne jedoch 
größer als a zu sein, so ist offenbar 
(14) 1 — a.