= 9>(x a ), 
l (9) ergibt, so 
, baß alle Glie« 
Ich behaupte 
rößer und grö- 
nn keine reelle 
) zwischen x 0 
Zus. 1.) die 
nnerlei Zeichen 
ist demnach 
rd zugleich 
als a werden 
| einer Grenze 
d diese Grenze 
der Gleichung 
, ohne jedoch 
Gesetzt, die Gleichung (1) habe keine zwischen x 0 und X 
liegende Wurzel, so wird das allgemeine Glied x n der Reihe 
(7) beständig wachsen, wenn dies bei n der Fall ist, wenig 
stens so lange dieses Glied kleiner als X ist; denn die Dif 
ferenz 
9 ( x n) — X ( x n) 
wird alsdann (nach Lehrs. 1, Zus. 1.) mit 
9 ( x oJ — X ( x o) 
einerlei Zeichen haben, d. h. sie wird negativ sein, und man 
wird daher, so wie oben, die Formeln (11), (12), etc.... er 
halten. Ferner kann x n sich keiner Grenze 1 nahem, welche 
kleiner als X ist, da die Existenz einer solchen Grenze auf die 
Gleichung (13), also auf eine zwischen x 0 und X liegende 
Wurzel führen mußte. Es muß demnach nothwendigerweise in 
dem angenommenen Falle der Werth von x n zuletzt größer als 
X werden. 
Zusatz 1. Die Bedingungen, welchen die Hülfsfunctionen 
9 ( X ), / ( x ) im zweiten Lehrsätze unterworfen sind, können 
auf unendlich viele Arten erfüllt werden. Aber unter allen den 
Werthen, welche die Function (p (x) erhalten kann, empfehlen 
sich diejenigen besonders, welche die Auflösung der Gleichungen 
(6), d. h. jeder Gleichung von der Form 
(p (x) = Constante, 
erleichtern. Ist der Werth von rp (x) auf diese Weise ge 
wählt, so wird man ohne Mühe die Glieder der Reihe (7) be 
rechnen können, und man darf alsdann nur noch die Grenze 
suchen, welcher sich dieselben nähern, um die kleinste unter den 
zwischen x 0 und X liegenden Wurzeln der Gleichung (1) zu 
finden. Werden die Glieder der erwähnten Reihe zuletzt größer 
als X, so hat die Gleichung (1) keine zwischen x 0 und X 
liegende Wurzel. 
Zusatz 2. Setzt man 
x o — 0, 
und hat die Gleichung (1) nur positive Wurzeln, so sind die 
Größen x,, x 2 , etc.... sämmtlich kleiner, als die kleinste 
Wurzel, und liefern Werthe, welche dieser Wurzel immer na 
her und näher kommen. 
Lehrsatz 3. Gesetzt, die Function k ( 
zwischen x = x 0 und x — X stetig; ferner sei 
und endlich seien <p (x), / (x) zwei Hülfsfu 
nen, welche gleichfalls zwischen x = x 0 und x 
stetig bleiben, aber außerdem 1) zwischen