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Q 3 — c) 2 ...
oduct der Qua-
Gleichung (27),
g in z, welche
ungen -
- 0
ver Zahlenwerth
. =±ll
Gleichung '(27),
etc..;,;
■j^ 6tC.. ... N
kleine Zahl ist;
ch die Formeln
Null reduciren.
en welchen nur
us. 1.) 1^(X)
lei Zeichen mit
irzeln, oder ist
befreit worden,
zwei Grenzen
Wurzeln liegen
elche paarweise
verden können;
rn kann. Wir
'ufgaben Naher
n, zwischen
Gleichung
maß, ein Po
lynom vom rn^n Grade in Beziehung auf x ist, in welchem
der Coefficient der höchsten Potenz von x, 1 ist, so hat man
offenbar, wenn die Coefficienten der auf einander folgenden
niedrigeren Potenzen durch
a i I a 2 ,••••, a m— 1 , a m ,
und die Zahlenwerthe dieser Coefsicienten durch
/ ^a /••••/ —1 » ^ra
bezeichnet werden,
m) (F(x)=x“+a 1 x^-l+ a 2 x^-2+...+a m _ix+a m
1 ] j = x m + A x x m_1 + A 2 x“-a±...±A m -i x+A ra .
Es sei nun k eine ganze Zahl, welche größer ist, als die ein
zige positive Wurzel der Gleichung (17) in Lehrs. 3, Anmerk. 2,
so wird das Polynom (20) positiv sein, wenn x= k oder
>► k. Man wird folglich nur x größer als k nehmen dürfen,
so wird die Summe der Zahlenwerthe der Glieder
A yin—1 A -«tr-iTi 2 A '%r A
"I Ä / a 2 x /'/ — 1 x / %/
kleiner sein, als der Zahlenwerth von x" 2 . Hieraus folgt, daß
der erste Theil von (27) niemals Null werden kann, wenn x
über die Grenzen
— k, -j- k
hinausfallt. Alle positiven und negativen Wurzeln von (27)
liegen demnach zwischen eben diesen Grenzen.
Anmerkung 1. Da die Zahl k nur der einzigen Be
dingung unterworfen ist, daß sie größer sein muß, als die po
sitive Wurzel der Gleichung (17), so kann man sie entweder
dem größten unter den Ausdrücken (19), oder der kleinsten
ganzen Zahl gleich setzen, für welche das Polynom (20) po
sitiv wird.
Anmerkung 2. Man kann sich leicht davon überzeugen,
daß die auf diese Weise gefundene Zahl nicht nur größer ist,
als die Zahlenwerthe der reellen Wurzeln der Gleichung (27),
sondern auch größer als die Moduli aller imaginären Wurzeln.
Denn es sei
x = r ( cos. t -J- i sin. t)
eine von diesen Wurzeln, so ist auch
(40) ) rm . c °s,:mt+A 1 r m Acos,(m-l)t+A 2 T rn - 2 .cos.(m-2)tHK..
f — + A m _! r cos. t + A m = 0,
(41) | rra . s i n , m t+A 1 r m " 1 .si n .(m-l)t+A 2 r m-2 . sin.(m-2)tHK,.
} -f A m _i. r. sin, t = 0,
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