340 
Multiplicirt man die erste Gleichung mit cos. mt, die zweite 
mit sin. int, und addirt die Resultate, so erhält man 
r m + A r m—1 . cos. t + A 2 r m ~ 2 . cos.21 + ........ 
+ A m _! . r cos. (m—1) t + A m cos.lnt —0. 
Nun ist aber klar, daß man bei dieser Gleichung nicht r. > k 
setzen darf, weil sonst der Zahlenwerth von größer als die 
Summe der Zahlenwerthe von 
(42) 
A 2 i 
m~2 
• t -Ai 
sein würde, und um so mehr größer als die Zahlenwerthe, welche 
diese Glieder erhalten, wenn man dieselben durch Cosinusse 
multiplicirt. 
Anmerkung 3. Vergleicht man die ersten Theile der 
Gleichungen (2?) und (40) mit dem Polynom (26), so kann 
man leicht darthun, daß, wenn g eine Zahl ist, welche kleiner 
als die einzige positive Wurzel der Gleichung (22) ist, g nicht 
nur eine untere Grenze für die Zahlenwerthe aller reellen 
Wurzeln von (27) sein muß, sondern auch für die Mo-, 
duli aller imaginären Wurzeln. Dies ist z. B. der Fall, wenn 
g der kleinste unter den Ausdrücken (25), oder die größte 
ganze Zahl ist, welche, für x in (26) subftituirt, ein ne 
gatives Resultat gibt. Ist die Zahl g auf diese Weise be 
stimmt, so werden alle positiven Wurzeln von (27) zwischen 
den Grenzen 
+ g/ + k / 
die negativen hingegen zwischen den Grenzen 
~~ k ' — g 
siegen. 
Anmerkung 4. Sucht man nur eine untere oder obere 
Grenze der positiven Wurzeln, so kann man dieselbe oft nach 
Lehrst 17, Zust in der vorhergehenden Note erhalten. Denn 
gesetzt, die Glieder des Polynoms F (x) hätten, mit Aus 
nahme eines einzigen, alle einerlei Zeichen, so laßt sich die 
Gleichung (27) unter die Form 
ix m -s-A,xm-i +...+A s _ 1 x m - s + 1 +A s+ ix m ~ s — 1 _j_... 
+ Ain-ix+ Ä m —A s x m ~ s 
bringen. Es sei nun n die Anzahl der Glieder des ersten 
Theils von (43), welche sich nicht auf Null reduciren, und 
Bx" 
das geometrische Mittel zwischen diesen Gliedern, B also das 
(43)