untere Grenze der Zahlenwerthe aller reellen Wurzeln von (27),
so kann man offenbar alle positiven oder negativen Glieder von
(46) weglassen, deren Zahlenwerthe kleiner als g sind, indem
man statt derselben nur
— S> + g
schreibt. Ist die Reihe (46) auf diese Weise modisicrrt wor
den, so wird man in F (x) successive 1) die negativen Glieder
dieser Reihe von —K bis — g, 2) die positiven Glieder von
-s- g bis -s- K substituiren, und so oft bei zweien aufeinander
folgenden Gliedern der Reihe, welche alle diese Glieder bilden,
die Resultate entgegengesetzte Zeichen haben, wird eine reelle
Wurzel zwischen diesen beiden Gliedern liegen.
Anmerkung 4. Hat man auf irgend einem Wege ei
nen mehr oder weniger genäherten Werth für die reelle Wurzel
a der Gleichung (27) gefunden, so kann man in sehr vielen
Fallen sich auch von der entgegengesetzten Seite her der Wur
zel 2 nähern und erhalt dann zwei Grenzen, von welchen die
eine größer ist als diejenigen reellen Wurzeln, welche kleiner
als a sind, die andere hingegen kleiner als diejenigen, welche
größer als a sind. Man geht hierbei von folgendem Satze aus.
Es feie n
F, (x), F 2 (x), F 3 (x), etc.,..
die Coefficienten der l ien , 2 ten , 3 ten , Potenz von
x in der Reihenentwickelung vonF (x-j-z); a,b,c...
die verschiedenen Wurzeln der Gleichung (27), und
h eine Zahl, welche größer ist als deren Moduli.
4 sei ein Naherungs werth der reellen Wurzel a,
und sowohl die Differenz a — §, als die Größe «,
welche durch die Gleichung
(55,
bestimmt wird, abgesehen vom Zeichen, so klein,
daß in dem Polynom
(56) F t (£)+2(2a)F 2 (£)+3(2«) a F 3 ©+4(2«) 3 F 4 (£)-f-*etc...
der Zahlenwerth des ersten Gliedes die Summe
der Zahlenwerthe aller übrigen Glieder übersteigt.
Endlich sei 6 eine Zahl, welche kleiner ist als der
Ueberschuß des ersten Gliedes über die Summe al
ler übrigen, so ist ausgemacht, 1) daß die reelle
Wurzel a zwischen den Grenzen
£ + 2«