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i ersten Theil
>den Potenzen
x) -s- etc...;
m Seiten des
(x)-f- etc....
£) ■+• etc.
th des ersten
eigen Glieder
'olynom (62)
folgt, daß in
i kann. Die
x und § + 2«
Eichung (27)
Vurzel haben,
he der Größe
chnet haben.
lit dem ersten
mit
und daß die
trifft, so folgt
Größe G of-
»lynom (62),
d. h. kleiner als die Neihenentwickelung von F x ($-{-z) ist,
auch wenn der Zahlenwerth von z gleich oder kleiner als der
Zahlenwerth von 2a, also auch kleiner als die Größe F, (a)
ist, welche man aus F, (g+z) erhält, wenn man
z = a — I
setzt. Aus diesem zweiten Theile des Satzes folgt ferner, daß
die reellen Wurzeln, welche größer als a sind, auch größer als
die Grenze
(63) -> + (2k)'»- 2
sind, und daß die reellen Wurzeln, welche
auch kleiner als die Grenze
(64)
G
(2k) m ~*
kleiner als a sind,
sein müssen.
Aufgabe 3. Beliebig nahe Werthe für die reel
len Wurzeln der Gleichung (27) zu finden..
Auflösung. Zuvörderst wird man, mit Hülfe dev vori
gen Aufgabe, für jede reelle und positive Wurzel zwei Grenzen
suchen, zwischen welchen sie liegen muß. Es seien nun z. B.’
x 0 , X die Grenzen der reellen und positiven Wurzel a; so
wird man sowohl die positiven, als auch die negativen Glieder
von F (x) unter sich addiren. Diejenige von beiden Sum-
men, welche für x = x 0 die kleinere ist, wird für x = X die-
größere werden. Diese Summe sei nun «p (x), die andere-:
y (x); so werden die beiden ganzen Functionen y (x), ^(x)
diejenigen Eigenschaften haben, von welchen im zweiten und
dritten Lehrsätze die Rede war. Wenn demnach die Function
P(x) von der Art ist, daß sich die Gleichungen von der Fornr
y (x) = Constante
leicht auflösen lassen, so liefern die Formeln (6) und (15) un
mittelbar die Näherungswerthe von a. Dies ist z. B. jedesmal'
der Fall, wenn die Function y (x) von der Form
B (x-f C) n + D
ist, wo B, C, D beliebige ganze Zahlen sind, rmd n eine
ganze Zahl, welche gleich oder kleiner als m ist; denn alsdann
erhält man 'successive die Glieder der Reihen (7) und (16)
durch Ausziehung der n ten Wurzel. Ist die Function y (x)
nicht von dieser Form, so läßt sie sich leicht auf dieselbe zurück
führen, indem man zu beiden Theilen der Gleichung