355 
t befürchten zu 
. F(g.) 
F x (g.) 
der Wurzel a näher liegen als g. 
cherungswerthes 
Beweis. Die Differenz 
a — S 
ist, wie sich leicht darthun laßt, größer als 
- F(a)-Fg.) 
L ' F,(i.)J (a F.gJ , ' 
oder, was dasselbe ist, der Zahlenwerth des Bruches 
uf die Decimal- 
F, E.) - K-,-F E.) 
a — li 
P. (Ix) 
lahlenwerth des 
kleiner als 1. Denn es sei ~ dieser Bruch, so darf nur 
gezeigt werden, daß 
ehler kleiner als 
V — u und V -j- u, 
d. h., 
der Gleichung 
M Naherungs- 
lziffern genau, 
n n eine sehr' 
denjenigen über- 
ü: „Essay on 
-ienenen Werke 
(80) F(a)—F(gJ F ( a ) F(lx) 
a ~ 1 lJ a—1, 
einerlei Zeichen haben. Setzt man aber 
(81) a = g + Z/ «nt» g x ==g + /J, 
wo z und ß einerlei Zeichen haben und zwischen 0 und 2« 
liegen, so verwandeln sich die Ausdrücke (80), nach Entwicke 
lung der Functionen 
F’(g+z), F(S + /?), Fj (g+>), 
respective in 
?ns gleichen 
e), der Zah 
ne in s (56), 
ckelung von 
> ß er als die 
en Glieder, 
e von dieser 
Grenzen 
F, (g) + (/? + z)F 2 (g) + (/S 2 + ßz + z2)F, (N + etc.. 
F 1 ©-(/5+z-4/i)F 2 (§)-(/? 2 +/?z+ z 2_6 / 52)F 3 ©-etc... 
Da in jedem dieser beiden Polynomien der Zahlenwerth des 
Coefsicienten von F^ (g) offenbar kleiner als der der Größen 
uz 11-1 , 2n/i n_1 , 
folglich auch kleiner als der des Productes 
n (2«) n-1 
ist, so ist es klar, daß beide einerlei Zeichen mit F, (g) haben, 
wenn der im fünften Lehrsätze angegebenen Bedingung Genüge 
geleistet wird. Folglich rc. 
23