Die Anzahl der Decimalstellen, welche genau sind, wird also
bei jeder neuert Operation wenigstens sich verdoppeln.
Die vorstehenden Untersuchungen liefern mehrere Auflösungs
methoden für numerische Gleichungen. Um die Vorzüge dieser
Methoden fühlbarer zu machen, wollen wir sie auf die Glei
chungen
(90) x 3 —2x — 5 = 0 und
(91) x 3 —7x + 7 = 0
anwenden, welche Lagrange (Auflösung der numerischen Glei
chungen, Cap. 4.) als Beispiele gewählt hat, und welche schon
früher durch Newton behandelt worden sind.
Betrachten wir zuvörderst (90), so finden wir (Lehrs. 3.,
Anm. 2.), daß sie eine einzige positive Wurzel hat, welche
zwischen
j/J72 = 2 und j/i.5 = 2, 15....
liegt. Ferner entspricht der positive Werth von x, welcher der
Gleichung
2x -j- 5 = x 3
Genüge leisten wird (Aufg. 1, Anm. 4.), der Bedingung
2 p/5.2x < x 3 ,
oder, was dasselbe ist, der Bedingung
x>(40) i =2,09....
Die Wurzel, von welcher die Rede ist, liegt also zwischen den
Grenzen 2,09 und 2,15..., so daß also 2,1 ein bis auf ein
Zehntel genauer Naherungswerth von a sein wird. Um einen
genaueren Werth zu erhalten, darf man nur bemerken, daß im
vorliegenden Falle
F (x) —
x 3 — 2x—5, F x (x)=3x 2 —2, F 2 (x) = 3x, F 3 (x)=1
ist, und daß, wenn man
§ --- 2,1
setzt, die im vierten Lehrsätze angegebene Bedingung erfüllt wird.
Da nun nach Gleichung (55)
ß = = — 0,005431878...
OS —~ o
ist, so erhalt man als näheren Werth von x
tz4- « = 2,094568121...,
und