3 auf ein Zehn-
rg (91) betrifft,
Grenzen
nen Näherungs-
2^ — 0,
Mzkge, zwischen
3 der correspon-
t für q in (100)
)ält, nämlich
lgswerth von o.
on c unmittel
können. Denn
folgt:
489.
'ätze mittheilen,
f die Bestim
mung der Anzahl der positiven und negativen Wurzeln beziehen,
welche eine Gleichung von irgend einem Grade haben kann.
Zu diesem Zwecke wollen wir zuvörderst die Anzahl von Folgen
und Abwechselungen der Zeichen, welche eine Reihe von Grö
ßen darbieten kann, wenn man die verschiedenen Glieder derselben
mit einander nach der Ordnung, in welcher sie auf einander
folgen, vergleicht, betrachten.
Es sei
(109) Ug, ßj, a 2 ,. . ., a m--1 i a m
die zu betrachtende, aus m + 1 Gliedern bestehende Reihe. Ist
keins dieser Glieder Null, so ist die Anzahl der Abwechselungen
der Zeichen, welche man erhält, wenn man sie paarweise in der
Ordnung, in welcher sie auf einander folgen, vergleicht, be
stimmt. Wenn aber irgend welche Glieder sich auf Null redu-
ciren, so kann man das Zeichen eines jeden derselben willkürlich
bestimmen, und die Anzahl der Abwechselungen der Zeichen
wird alsdann von dieser Bestimmung abhängen, jedoch nicht
kleiner als ein gewisses Minimum, noch auch größer als ein
gewisses Maximum sein können. Aehnliche Betrachtungen
lassen sich auch in Bezug auf die Folgen der Zeichen machen.
Es ist aber einleuchtend, daß man, was die Anzahl der Ab-
wechselungen betrifft, das Maximum findet, wenn man an
nimmt, daß jedes fehlende Glied dasjenige Zeichen habe, wel
ches dem des vorhergehenden entgegengesetzt ist. — Gesetzt z. B.,
die Reihe (109) bestehe aus den vier Gliedern
-ch- 1, 0, 0, — 1,
so erhält man das Maximum der Abwechselungen, wenn man
das zweite Glied als negativ ansieht, das dritte hingegen als
positiv, oder, was dasselbe ist, wenn man schreibt
-f- 1, — 0, -j- 0, — 1.
In dem vorliegenden Falle wird demnach das besagte Maxi
mum 3 sein. Dagegen hätte man das Minimum der Abwech
selungen erhalten, und zwar 1, wenn man jedem Gliede, wel
ches Null ist, dasselbe Zeichen gegeben hätte, mit welchem das
vorhergehende behaftet ist, d. h. wenn man geschrieben hatte
-f- 1, -j- 9, -s- 0, — 1.
Nachdem diese Principien festgestellt sind, wird man ohne Mühe
zu folgenden Sätzen gelangen.
Lehrsatz 6. Die Constante Ii sei reell und po
sitiv, und man multiplicire das Polynom
(110) a 0 x ra +a lX »-l+a 2 x^-2 + ...+ a m _. lX -{-a m