Ladislaus v. Bortkiewicz,
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aber die Summen, welche Kauffmann diskontiert, nicht so aus Kapital und Zinsen
zusammengesetzt, wie es jener Bedingung entsprechen würde. Die Zahlung A
dA
besteht nämlich nur aus Kapital und die n Zahlungen —— bestehen ausschließlich
100
aus Zinsen. Folglich muß die Diskontierungsformel (25) benutzt werden und
diese Formel ergibt:
und
pA
B = n-—
u 11
100
Der Widerspruch, den v. Kauffmann feststellen zu dürfen glaubte, ist
also in Wirklichkeit gar nicht vorhanden x ).
In den von Cantor, Maleszewski und Kauffmann herangezogenen Fällen
hat es sich darum gehandelt, daß unter Zugrundelegung des Prinzips des ein
fachen Zinses für ein und dieselbe Aufgabe zwei verschiedene Lösungen, angeb
lich mit gleichem Recht, herauskommen und hat es sich beim näheren Zusehen
jedesmal gezeigt, daß entweder eine jener Lösungen oder daß beide Lösungen
(im Fall Kauffmann) auf einer Verletzung der Regeln beruhen, die für das
Rechnen mit einfachem Zins maßgebend sind.
Es soll nunmehr ein Fall zur Sprache gebracht werden, wo das Prinzip
des einfachen Zinses ohne Verletzung der betreffenden Regeln zu verschiedenen
Lösungen führt, wo aber der Widerspruch auch nur ein scheinbarer ist, weil jede
der konkurrierenden Lösungen, genauer betrachtet, einer verschiedenen Aufgabe
entspricht.
Dieser Fall betrifft die Amortisation eines Kapitals K durch n gleiche
Jahresleistungen oder Annuitäten a. Die Zusammensetzung der am Schluß des
m ten Jahres zu zahlenden Summe a aus Kapital und Zinsen sei durch
a — k m -j— z ni
dargestellt. Der Zinsfuß sei p und man führe noch die Bezeichnung 1 -[ —
= r ein.
1) v. Kauffmann sowie v. Maleszewski berufen sich zur Bekräftigung der Ansicht von der Un
brauchbarkeit des einfachen Zinses als Rechnungsprinzip auf C. v. Clausberg. Auch Cantor erwähnt ihn
in seiner Geschichte der Math. III. S. 494—499. Clausberg nimmt zwar bei seinen Erörterungen über
Diskontierung wiederholt auf Leibniz Bezug (Demonstrative Rechenkunst, 5. Aufl. Leipzig 1795. S. 1286,
11
in einem „Von Interesse auf Interesse“ überschriebenen Kapitel,
1356), aber er bringt die Formel
woraus zu ersehen ist, daß er die Leibnizsche Ansicht, diese Formel hätte mit der Zinseszinsrechnung nichts
zu tun, nicht teilte. Und auch darüber, ob diese Formel unter allen Umständen den Vorzug verdient, spricht
sich Clausberg mit einiger Vorsicht aus. Ebendaselbst, S. 1353—1354-