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Ladislaus v. Bortkiewicz,
Gesetzt, daß in jedem Versicherungsjahre die Zinsen, welche das ange
sammelte Kapital Rk-i und die am Anfang desselben (k tcn ) Jahres eingezahlte
Prämiensumme ak_i abwerfen, nicht mehr betragen, als zur Deckung der Aus
zahlungen bt erforderlich ist, derart, daß
—~— (Rk—1 -|~ a k—l) <C t>k, (44)
IOO
so kann man die Jahreszinsen jeweils zur Auszahlung der fälligen Versicherungs
summen mit verwenden und auf diese Weise eine Kapitalisierung von Zinsen
vermeiden.
Nichtsdestoweniger würde man auch in diesem Falle die Größe R m nach
der Formel
R m = a 0 r m -j- a^™ -1 -}- .... -j- a m —1 r—(b^® -1 -J- b 2 r m_a -f- .... -j- b m ) (45)
berechnen können. Denn diese Formel läßt sich aus Schema (43) herleiten,
welches auch dann gilt, wenn die Ungleichung (44) erfüllt ist und daher keine
Zinseszinsen in die Erscheinung treten. Man erhält nämlich aus (43):
a 0 r ,n —b L r ,u—1 = R^" 1 - 1
R l r ra ~ 1 -f- a^“ -1 —b 2 r m—2 = R 2 r m ~ 2
Rm—~j - a m—2L b m — R-m—iT
Rrn—iT ~j - a m—l4 ~ bm Fk-m
und durch Zusammenaddieren dieser m Gleichungen ergiebt sich die Formel (45).
Letztere kann, wenn man die Bezeichnung
1
— — o
r
einführt, wie folgt, geschrieben werden:
Rm = r m {a 0 -[- a^ -(- a 2 ^ 2 -j- . . . -J- am-iß" 1 “ 1 —(b^ -j- b 2 @ 2 -|- . . . -J- b m @ m )}. (46)
Formel (46) bringt in allgemeinster Form die Methode zum Ausdruck,
nach welcher die Prämienreserven bestimmt werden. Wenn dann die Anzahl
der Jahre, nach deren Ablauf die Versicherung notwendig erlischt, mit n be
zeichnet wird, so hat man nur in Formel (46) m — n und R n = o zu setzen, um
auf die Gleichung
a o a iQ • • • • (— a n—1 1 = bj ^ —j— b 2 g>- —j— .... -j- b n @ n (47)
zu kommen, welche der Berechnung der (Netto-)Prämien zugrunde gelegt wird
und welche besagt, daß der Jetztwert der Einzahlungen der Versicherten dem
Jetztwert der Auszahlungen des Versicherers gleich sein muß.