Wie Leibniz die Diskontierungsformel begründete.
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Nach dem Vorstehenden sind die Formeln (46) und (47) auch dann an
wendbar, wenn nach Maßgabe der Bedingungen des betreffenden Versicherungs
planes keine Zinseszinsen zustande kommen 1 ). Würde man in solchen Fällen die
Ein- und Auszahlungen nach dem Prinzip des einfachen Zinses diskontieren, so
käme man zu demselben Resultat, d. h. zu denselben Werten von R, n (also zu
denselben Prämien und Prämienreserven) wie bei Anwendung der üblichen (Leib-
nizschen) Diskontierungsmethode, aber die Rechnung würde sich komplizierter
gestalten.
Man hätte als den diskontierten Wert jeder Einzahlung a k nach Formel (26)
weil die Summen a k keine Zinsen enthalten.
Jede Auszahlung b k enthält an Zinsen
~— (E-k—1 -J- a k _l)
100
und an Kapital
bk —— (Rk—1 ~f~ a k—1) •
100
Nach Formel (25) ist also der Jetztwert von b k durch
(49)
dargestellt.
Der Jetztwert aller m Einzahlungen, vermindert um den Jetztwert aller
m Auszahlungen, läßt sich daher so ausdrücken:
m—1 m m
m
m
0 1 1
Diese Formel muß in
100—mp j ,
(5 0
111
IOO
übergehen, weil ja R m im gegebenen Fall nur aus Kapital besteht und daher in
Formel (26) K = R ra und Z = o zu setzen ist.
1) Der Sachverhalt ist also demjenigen durchaus analog, welcher oben bei der Tilgung einer Schuld
durch gleichbleibende Abzahlungen festgestellt worden ist.