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Ladislaus v. Bortkiewicz,
Um zu beweisen, daß die Ausdrücke (50) und (51) einander gleich sind
ersetze man zunächst in (50)
hk (R-k—1 “f" a k—1)
100
auf Grund von (43) durch
a k—1 + Rk~l—Rk,
wobei zu beachten ist, daß R 0 = o. Man erhält dann für den Ausdruck (50)
m—1
2 a *-2 bk ~^Too^2 k ( ak - i_ak )+-\
mp
P_ V
00
100
oder
m—1
m—1
100
a k
m—1
P
IOO
mp
k rkr
IOO
k(R k _i—Rk)
(52)
01 1 1
Andererseits findet man aus (43) durch Summierung
m—1
m—1
m—1
+ 2 bl =2 Rk +
R.
oder
Der Ausdruck {50) geht also in der Tat auf Grund der Formeln (52) und
(53) in (51) über.
Das trifft zu unabhängig davon, ob die Ungleichung (44) erfüllt ist oder
nicht. Aber wenn sie nicht erfüllt ist, dann läßt sich nicht mehr behaupten, daß
Formel (50) den nach dem Prinzip des einfachen Zinses berechneten Jetztwert
des Überschusses der Einzahlungen über die Auszahlungen liefert. Die beiden
Diskontierungsformeln (ig) und (25) führen somit zu identischen Ergebnissen nur
unter der Bedingung, daß dem Charakter des betreffenden Versicherungsplanes
zufolge keine Veranlassung besteht, die Zinsen, welche die eingezahlten Prämien
abwerfen, zu kapitalisieren. Was also zur Anwendung der Diskontierungsformel
(ig) in allen Eällen berechtigt, ist nicht die Tatsache, daß eine Kapitalisierung
solcher Zinsen immer stattfindet, sondern der Umstand, daß sie niemals unter
bleibt, wenn sich ein Überschuß der Jahreszinsen über die jährlichen Auszahlungen
herausstellt. Und der Vorteil, den die ausnahmslose Anwendbarkeit und An
wendung der Diskontierungsformel (19) bietet, besteht mit darin, daß man sich
bei der Berechnung der Prämien und Prämienreserven die Frage gar nicht zu