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Ladislaus v. Bortkiewicz,
habet, quando impossibile est obtineri valorem incognitae rationalem per Algebram,
tunc enim ea nihilominus hac via obtineri potest per seriem infinitam.“
Der Jetztwert einer nach 2 Jahren zahlbaren Summe 1 wird nach Leibniz
durch die unendliche Reihe
1
1
v 3 V 4
(7)
dargestellt. Dieser Ausdruck wird in ganz ähnlicher Weise wie (2) abgeleitet.
Für die Vorausbezahlung von 1 hat der Gläubiger die Zinsen von 1 für
2 1 1
2 Jahre, also —, zu zahlen, und zwar — am Schluß des 1. und — am Schluß des
v v v
2. Jahres. Werden aber diese beiden Zinszahlungen in die Gegenwart verlegt,
so hat der Schuldner als Entgelt dafür am Schluß des 1. Jahres für 1 Jahr die
2 2
Zinsen von —, d. h. —, und am Schluß des 2. Jahres für dieses Jahr die Zinsen
von —, d. h. —, also im ganzen — zu leisten. Wenn nun letzterer Betrag sofort
gezahlt wird, so entsteht für den Gläubiger die Verpflichtung, am Schluß des
1. Jahres die Zinsen von — für dieses Jahr, d. h. und am Schluß des 2. Jahres
die Zinsen von — für dieses 2. Jahr, d. h. —, also im ganzen ~ ~ zu zahlen. Setzt
man diese Berechnung ins unendliche fort, so wird sich die Reihe (7) ergeben.
Als Jetztwerte einer nach 3, 4, 5 usw, Jahren zahlbaren Summe 1 erhält
man nach Leibniz die Reihen:
— — —+
1 V
6
G ”
1 0 15
v 3 1 V 4
(8)
±_4 +
I V
IO
g~ _
20 35 _
V 3 1 V 4
(9)
I V 1
15
V 2 ‘
35 i 7« _
v 3 1 V 4
(10)
usw.,
in denen die Nenner und Vorzeichen dieselben sind wie in den Reihen (2) und
(7) und als Zähler die figurierten oder kombinatorischen Zahlen der entsprechend
höheren Klasse auftreten.
Dieser Satz, den Leibniz nicht beweist, dürfte aus folgendem Schema
unmittelbar einleuchten. Das Schema gibt die Zinsbeträge an, welche nach obigem
Räsonnement der Gläubiger und der Schuldner zu zahlen hätten, und zwar mit