DIGRESSION SUR LA MESURE DES AIRES ET DES VOLUMES 83 
devoir rappeler tout de suite, dans un paragraphe spécial formant 
parenthèse, les règles bien connues du « système métrique », qui 
permettent le calcul des aires et des volumes. D’une part, en effet, 
l’exposé de ces règles n’offre au point de vue de la géométrie des 
figures qu’un intérêt secondaire. Et d’autre part, il complétera 
utilement ce que nous avons dit et dirons encore du calcul des 
grandeurs, en nous faisant voir nettement de quelle manière les 
grandeurs géométriques peuvent se combiner suivant les lois de 
l’arithmétique. 
3. — Digression sur la mesure des aires et des volumes 
en géométrie rationnelle. 
70. — Revenons d’abord un peu en arrière, et complétons par 
quelques remarques les observations que nous avons présentées 
touchant le problème de la mesure. 
Soit à mesurer une aire plane (n° 55). Prenant comme unité 
d’aire le mètre carré — c’est-à-dire l’aire du carré dont le côté 
est long d’un mètre,— nous pouvons, théoriquement du moins, 
placer sur la surface à mesurer (de manière à la recouvrir aussi 
exactement que possible) un certain nombre de carrés égaux 
à l’unité ou de fractions de ces carrés (cf. n° 55). Mais comment 
réaliserons-nous en fait, une semblable opération? Ou plutôt, 
puisquelle n’est pas réalisable, comment, pourrons-nous en prévoir 
le résultat sans l'effectuer. Telle est la question à laquelle ont dû 
répondre les premiers géomètres. La même question se pose au sujet 
des volumes (cf. n° 60) lorsqu’on cherche à les mesurer en prenant 
pour unité le mètre cube, c’est-à-dire le volume du cube dont le 
côté est i. 
71. — Le problème ainsi formulé peut être étudié de deux 
points de vue différents. On peut renoncer de prime abord à trouver 
une mesure exacte de la grandeur que l’on considère : c’est ce que 
fait la géométrie empirique. On peut au contraire, — et c’est là ce 
que veut faire la géométrie rationnelle, — chercher à établir qu’étant