DIGRESS10X SUR LA ¡M ES URE DES ATRES ET DES VOLUME8 85 
théorèmes, compléter les figures sur lesquelles elle raisonne en y 
adjoignant (par la pensée tout au moins) certains points, ou lignes, 
ou surfaces auxiliaires. Les opérations qu elle effectue reviennent 
donc, en définitive, à des constructions théoriques de certaines 
figures géométriques qui sont en relation avec les figures données 
(sur le sens du mot construction en géométrie, voir ch. ni, § 5). 
C’est par de tels moyens, nous l’avons vu, qu’Archimède a dé 
terminé la longueur de la circonférence. C’est également par de 
tels moyens que la géométrie rationnelle enseigne à calculer les 
aires et les volumes formés par les figures les plus simples. 
73. Aire d’un rectangle. Produit de deux longueurs. — 
Cherchons à mesurer l’aire d’un rectangle ABGD (quadrilatère dont 
les quatre angles sont droits) sachant que les côtés AB et BC ont 
respectivement pour mesures (par rapport à Limité de longueur) 
les nombres a et b. 
Supposons, en premier lieu, que les nombres a et b soient entiers. 
Nous considérerons d’abord le rectangle BCG^ dont les côtés, 
BC et BBj ont pour mesures a et i 
(fig. a5). Portant sur BC la longueur 
BG de mesure i, je construis le carré 
BGGiB dont la surface sera prise pour 
unité d'aire (n° 69). Or on voit immé 
diatement qu’autant de fois la longueur 
BG contient la longueur-unité BG, 
autant la bande rectangulaire BCGJ1 contient de carrés égaux 
à BGGJ3. Donc l’aire de celte bande rectangulaire a pour mesure 
le nombre a [a mètres carrés si Limité de longueur est le mètre] . 
Cela dit, le rectangle ABCD contient évidemment autant de bandes 
rectangulaires égales à BGCjB que le côté AB contient de fols la 
longueur-unité BBi : il en contient donc h. J’en conclus que le 
rectangle proposé ABGD, contient a X b carrés égaux à Limité 
d’aire : il a pour mesure le produit a x b C). 
Si les nombres a et b, au lieu d’être entiers, étaient simplement 
rationnels, on parviendrait à la même conclusion à condition de (*) 
(*) C’est pourquoi le produit a X b de deux nombres cardinaux est dit 
nombre plan : il représente une surface (portion du plan), celle d’un rec 
tangle.