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LES GRANDEURS 
prendre une unité auxiliaire contenue un nombre exact (entiei) de 
fois (') dans a et dans b. 
Supposons maintenant que les longueurs AB et CD n’aient point 
de mesures exactes (nombres rationnels) par rapport a 1 unite BB 1# 
En ce cas nous ne pouvons donner du rectangle ABC (par rapport 
à l’unité d’aire) qu’une mesure approchée. Désignant par a, /5 des 
mesures arbitrairement approchées de AB et CD, nous pouvons 
construire un rectangle dont les côtés aient pour mesure a et /3 et 
qui recouvre avec une approximation arbitrairement grande le 
rectangle donné. Plus les mesures a et /3 seront approchées, plus le 
produit a X /5 sera une mesure approchée du rectangle ABCD. 
Ces remarques nous conduisent à regarder en tout cas la cons 
truction d’un rectangle dont les côtés sont des longueurs données 
AB, CD, comme une opération équivalente à la multiplication arith 
métique. Nous dirons que Vaire du rectangle ABCD (rectangle 
construit sur AB et CD) est le « produit ( 2 ) » des deux longueurs AB 
et CD [appelées « dimensions » du rectangle]. Pour avoir une 
mesure exacte ou approchée de ce produit, on n’a qu’à faire le 
produit des mesures exactes ou approchées des deux longueurs. 
D'ailleurs, en conséquence des théorèmes de la géométrie, la 
u construction » d’un rectangle dont on connaît deux dimensions 
est toujours réalisable avec la règle et le compas ( 3 ). La multipli 
cation géométrique est donc une opération parfaitement et rigou 
reusement délinic. 
74. — Ces préliminaires posés, si nous démontrons d’une aire 
donnée quelconque qu’elle est égale (n° 55) à l’aire d’un rectangle 
(‘) Cela est toujours possible puisque les’fractions qui ont pour valeurs 
a et b peuvent toujours être réduites au même dénominateur. Soit n ce 
dénominateur : la u iètne partie de l’unité de surface sera l’unité auxiliaire 
requise. 
0 Au lieu de dire que le rectangle est un produit, les anciens emplo 
yaient le mot rectangle (rectangle de d.ux quantités, rectangle de deux 
nombres) dans le sens où nous prenons le mot produit. Nous avons nous- 
mêmes continué à appeler carré le produit d’un nombre par lui-mème. 
Le carré d’une longueur AB est désigné par le symbole AB 2 . 
( 3 ) Prenant sur une droite un segment AB ayant pour longueur une 
dimension a du rectangle, il faudra mener en A et B des perpendiculaires 
à AB (sur lesquelles on prendra des longueurs égales à b) : or c’est là 
une construction que la géométrie rationnelle enseigne à faire très sim 
plement [vide infra, 234).