RAPPORTS ET PROPORTION S 
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Bornons-nous, pour l’instant, à remarquer que l’on peut ins 
crire dans la sphère ou circonscrire à la sphère un polyèdre ayant un 
nombre arbitraire de laces ; le polyèdre est dit inscrit, dans la sphère 
si tous ses sommets sont sur la surface de la sphère ; il est dit cir 
conscrit à la sphère si toutes ses faces sont tangentes à la sphère 
(la touchent en un point seulement et ne le traversent pas). 
Cela posé, en raisonnant comme nous l’avons fait sur le cercle 
au n° 84, on constate que si le polyèdre inscrit ou circonscrit a un 
très grand nombre de faces très petites, sa surface (ensemble de 
ses faces) est une figure qui se confond presque avec la surface de 
la sphère, son volume est très voisin du volume de la sphère. Sup 
posons alors que nous puissions évaluer l’aire de la surface (somme 
des aires des faces) et le volume d’un polyèdre inscrit ou circons 
crit à n faces, — polyèdre dont la forme reste à notre discrétion 
pourvu que les faces soient arbitrairement petites quand leur 
nombre n est arbitrairement grand : nous aurons ainsi, de Faire 
et du volume de la sphère des valeurs arbitrairement approchées. 
Nous parviendrons ainsi aux résultats bien connus que voici (*) : 
L’aire de la surface de la sphère est le quadruple de l’aire d’un 
grand cercle. Le volume de la sphère est égal au produit de l’aire 
de sa surface par le tiers de la longueur de son rayon (*). 
4. Rapports et proportions 
88. — La mesure, telle que nous l’avons définie au § 2, indique 
combien de fois l’unité est contenue dans la grandeur mesurée. 
Elle est donc relative à l’unité et variable en même temps qu’elle : 
ainsi la longueur qui a pour mesure i 609 en kilomètres mesure 
(') pour l’aire, pour le volume, avec les notations et dans 
les conditions indiquées page 96, note 3. 
( 2 ) Archimède a présente ces faits sous diverses formes; il énonce en 
particulier comme il suit le théorème relatif au volume : 0 /.oXivopo; ô 
PaT'.v usv e/ojv ’'ar ( v zïo jjleyitjtüi xj/.Àüj xwv vi z'f { aoaipa, inloi oi ’.ffov Tfj 
otxuÉTpqj z7 t c (Tœatpac auzvç zt izzL aoaipa.;, /.al r, î-upavîia 
(surface totale c’est-à-dire surface latéral plus surfaces des bases) aoToà 
xijç èirtçxvstai zr^ acpatpa; (flspi atpafpaç /.ai xuXivSpouî, I préface). Sur 
le tombeau d’Archimède, un monument représentant la sphère et le cy 
lindre circonscrit (qui a pour hase un grand cercle) immortalisa l’énoncé 
de ce théorème.