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LES GRANDEURS 
i ooo en milles anglais. Mais il y a quelque chose que ne modi 
fient pas les changements d’unités. Considérons en elîet deux 
longueurs com mensurables quelconques dont les mesures 
exactes aient été calculées par rapport a des unités dille rentes . il 
résulte des définitions du n° 61 que le rapport {ou quotient) des 
mesures respectives des deux longueurs reste le meme lorsque l on 
passe d’une unité à une autre ; ce rapport, en d’autres termes, ne 
dépend que de la grandeur relative des deux longueurs et non de 
l’unité qui sert à les mesurer. C’est pourquoi notre langage ne 
prêtera à aucune équivoque si nous convenons d appeler « rapport 
{ratio) des deux longueurs AB et CD » le rapport de leurs mesures 
exactes déterminées relativement à une unité quelconque ; nous 
pouvons ajouter qu’en conséquence de nos définitions (61), le 
rapport ^ n’est autre que le nombre {entier ou fractionnaire) qui 
mesure la longueur AB quand on prend la longueur CD pour unité. 
Ainsi les mesures exactes représentent des rapports de grandeurs 
à grandeurs semblables (car nous pourrions raisonner sur des 
grandeurs quelconques comme nous l’avons fait sur les longueurs), 
et les calculs effectués sur les mesures ne sont que l’expression 
numérique des comparaisons et rapprochements auxquels donnent 
lieu les rapports de grandeurs. 
Il en est ainsi du moins pour les grandeurs exactement mesu 
rables. En sera-t-il autrement pour les autres? — Sans doute, 
dans le cas des grandeurs incommensurables, l’assimilation de la 
mesure à un nombre fractionnaire n’a plus qu’une valeur approxi 
mative. Mais la notion de rapport de grandeurs, — qui est, nous 
venons de le voir, indépendante de l’unité et par conséquent du 
calcul, — est-elle nécessairement dépendante de la notion de 
nombre? Ne pourrait-on pas soutenir que nous en avons l’intuition 
directe et qu’en conséquence nous sommes libres de l’appliquer à 
toutes les grandeurs géométriques, indistinctement? 
Nous allons voir qu’il en est ainsi en effet et que l’on peut consi 
dérer et étudier des « rapports » de grandeurs quelconques, se 
prêtant tous à des opérations identiques (*). 
(*) C est Eudoxe de Cnide, contemporain de Platon, qui paraît avoir 
constitué le premier une théorie générale des rapports géométriques, 
et l’on a même attribué à ce géomètre la paternité du V e livre des