RAPPORTS ET PROPORTIONS 
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89. Rapports de longueurs. Similitude. — Le géomètre se 
fait du rapport de deux longueurs (ou, plus généralement, de deux 
grandeurs géométriques) une idée parfaitement nette quoique dilli- 
cile à formuler en termes rigoureux f 1 ). Cette idée est liée à celle 
de la similitude. Imaginons par exemple que nous fassions une 
réduction ou un agrandissement d’une épreuve photographique : 
nous dirons que la nouvelle image est semblable à la première ; elle 
a la même forme sans avoir la même grandeur. Traçons sur 
l'épreuve primitive deux segments de droites arbitraires AB, CD, 
et appelons ( 2 ) A B', CT)' les « images » respectives de ces deux 
Eléments d’Euclide, où se trouve l’exposé de cette théorie. Les proposi 
tions du V e livre simplifient considérablement l’étude des aires et volumes 
(voir le paragraphe précédent) et redonnent, par unevoie nouvelle, les ré 
sultats auxquels on a tout d’abord été conduit par la considération directe 
de l’égalité géométrique. (Exemple: Le théorème de Pythagore, voir 199). 
M.Zeuthen suppose [Hist. des math, dans l’aniiqu.) que les difficultés inhé 
rentes à la théorie des proportions no furent définitivement surmontées 
que peu de temps avant Euclide : c’est pourquoi celui-ci aurait tenu 
à laisser une place dans son système à la méthode ancienne à côté de la 
nouvelle. 
(’) Le rapport (Xoyoç) est, dit Euclide, une certaine manière d’être 
(iro'-a ayi-n;, quaedam hahitudo) de deux grandeurs homogènes entre elles 
suivant la quantité [Eléments, liv. Y, déf. 3]. Mais Euclide (ou Eudoxe, 
voir la note précédente) ne se contente pas de cette affirmation ; il 
donne du rapport une définition indirecte et arithmétique qui ne diffère 
guère au fond de celle que fournit la théorie moderne des nombres 
irrationnels exposée ci-dessous au § 6. 
Deux grandeurs, dit-il (déf. 4), sont dites avoir une raison [ratio) entre 
elles lorsque ces grandeurs étant multipliées peuvent se surpasser mutuel 
lement : en d’autres termes (en désignant les grandeurs par A et B), si 
l’on peut trouver deux nombres entiers m et n tels que m fois A > B et 
n fois B > A.— Que deux grandeurs de même espèce (par exemple deux 
longueurs ou deux aires) satisfassent à ces conditions (et aient par 
conséquent un rapport), c’est là un postulat qui équivaut à l’axiome 
connu sous le nom de postulat d’Archimède [vide, p. 74, note 1). 
La définition des rapports égaux est donnée en ces termes par 
Euclide : « Des grandeurs sont dites en même raison, la première à la 
seconde et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples [pro 
duits par un même nombre] quelconques de la première et de la troisième 
et d’autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième 
sont tels que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les 
seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, on sont plus petits à 
la fôis. » (trad. Peyrard). 
( 2 ) Les segments A'B', C'D', ... sont dits homologues des segments AB, 
CD, ... et proportionnels à ces segments.