RAPPORTS ET PROPORTIONS 
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quelconques, nous saurons définir leur quotient et leur 
différence j en particulier le quotient d’un rapport égal à i par un 
AB . CD .. . 
rapport ^ sera le rapport ^ g dit inverse ou rapport inverse de 
D’ailleurs, il serait facile de vérifier nous nous en dispenserons 
pour ne point allonger cette exposition) que les sommes et pro 
duits de rapports*jouissent de toutes les propriétés associatives, 
commutatives et autres que nous avons énumérées en définissant 
les opérations fondamentales de l’Arithmétique. 
95. Application du calcul des rapports au calcul des lon 
gueurs. — Ainsi, sans faire appel à la notion de nombre, nous 
sommes en état de construire un véritable calcul des rapports 
géométriques ('), calcul analogue au calcul des fractions (Ghap. I, 
§ 5), et qui coïncide exactement avec ce calcul dans le cas particu 
lier où les rapports sont des nombres mesures exactes, voir n° 88 . 
D’ailleurs les opérations effectuées sur les rapports correspon 
dent toujours, aux termes mêmes de leurs définitions, à des opé 
rations effectuées sur les grandeurs ; il sera donc toujours possible 
de transposer le calcul des rapports en un calcul relatif aux gran 
deurs elles-mêmes. 
Convenons de remplacer un rapport (de longueurs) donné quel- 
AB 
conque par le rapport égal , où UN est la longueur-unité ; nous 
savons toujours (n° 93) construire la longueur VB ; nous dirons 
que cette longueur représente (est mesurée par) le rapport donné. 
Moyennant cette convention, les règles énoncées plus haut peuvent 
être prises comme définitions des opérations fondamentales (addi 
tion, soustraction, multiplication, division) effectuées sur les lon 
gueurs. Les opérations ainsi définies ont ceci de remarquable que 
les résultats auxquels elles conduisent sont eux-mêmes toujours des 
(') Nous ne nous sommes occupés dans les paragraphes précédents que 
des rapports de longueurs : l’étude des rapports d’angles, d’aires ou de 
volumes, conduirait manifestement aux mêmes conclusions. Sur la com 
paraison de ces différentes sortes de rapport, ride infra, n° 98.