CONFRONTATION DU NOMBRE ET DE LA GRANDEUR
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une que je nommerai l’unité pour la rapporter d’autant mieux aux
nombres et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis,
en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soit à
l’une de ces deux comme l’autre est à l’unité, ce qui est le même
que la multiplication ; ou bien en trouver ( 1 ) une quatrième qui
soit à l'une de ces deux comme l’unité est à l’autre, ce qui est le
même que la division; ou, enfin, trouver une ou deux ou plu
sieurs moyennes proportionnelles entre l'unité et quelque autre
ligne ( 2 ), ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique,
etc. Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique
en la géométrie afin de me rendre plus intelligible ».
Ces déclarations résument excellemment les conclusions
auxquelles nous ont conduits les premiers paragraphes du présent
chapitre.
107. — La résistance qui fut longtemps opposée aux vues
formulées par Descartes s’explique par des raisons profondes. 11
faut en chercher l’origine dans les premières spéculations de la
science grecque.
La mathématique des Pythagoriciens se proposait un double
objet : l’étude des propriétés des nombres (voir I, § i) et l’étude
des propriétés des corps géométriques. Entre ces deux études il y
avait, à l’origine, une parenté étroite : les Pythagoriciens ne
représentaient-ils pas les nombres par des figures géométriques
formées de points (n° 3) et n’afïirmaient-ils pas que « toutes les
choses sont nombres? » Mais voici que, tout d’un coup, surgit
une difficulté inattendue ; l’existence des longueurs incommensu
rables est reconnue et le théorème de Pythagore sur le triangle
(*) Comment ces lignes (résultats des opérations) sont effectivement
déterminées, c’est là une question dont nous n’avons pas à nous préoc
cuper ici. On le, obtient très facilement en appliquant les théorèmes de
la géométrie rationnelle ainsi que nous le verrons au chapitre ni du
Deuxième livre.
(*) Trouver, par exemple, une longueur b telle que ^ = -, a étant
connu (d’où a — h 2 , h = y a), ou trouver deux longueurs b et c tels que
t =• - = - (d’où b
b c 1 v
b 2
= — = c 3 , c = y a).
