DÉFINITION RIGOUREUSE DES NOMBRES IRRATIONNELS 120 
d’après la définition donnée plus haut, la limite de s n pour n infini. 
Nous exprimons ce résultat en disant que la somme de la progres 
sion géométrique indéfinie 
i+i' + r ! + -r' l +... 
est égale à . Ainsi la somme 
..rtjoable 
21 et 38 
prolongée indéfiniment est égale à 
ou 2‘ 
C’est là un résultat qu’énonçait déjà explicitement Archimede 
dans son Traité de la quadrature de la parabole, prop. 23. 
112. Abscisses. Interprétation géométrique de la limite. — 
Comme type de grandeur, nous prendrons de préférence, avons- 
nous dit, la longueur d’un segment géométrique (n° 53). Conve 
nons en particulier de toujours porter les segments sur une même 
droite, dans une même direction, et à partir d'un même point 0 
appelé origine. La comparaison des segments entre eux est alors 
particulièrement aisée ( 1 ). 
A, Ap C Bn B, X 
oisaalf, 
ajoutant 
Heurs la 
Fig. 66. 
Imaginons, par exemple, que les longueurs soient portées du 
côté droit (à partir de l’origine 0) sur la droite indéfinie ( 2 ) X OX 
(fig. 66) ; alors à toute longueur OA correspond un point A 
(seconde extrémité du segment OA) situé à droite du point 0 ; 
nous dirons que la longueur OA est Vabscisse du point V. (*) 
(*) La représentation des longueurs par des abscisses rend intuitives 
toutes les propriétés que nous avons dit appartenir aux longueurs. Ainsi, 
par exemple, étant données deux longueurs, on en aura l’abscisse de leur 
somme en les portant bout à bout à partir du point O. — Le produit de 
deux longueurs pourra d’après le § 3 (n° 95) être défini comme une lon 
gueur, partant comme une abscisse. 
( 2 ) Le point X, naturellement, est quelconque sur la droite indéfinie ; 
on peut l’éloigner autant qu’on veut. 
Boutbovx, — Les Principes de l’Analyse malhémalique. p