EXPRESSIONS ARITHMÉTIQUES CONVERGENTES. SÉRIES 
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118. Remarque. — Il faut remarquer toutefois que l’on ne 
peut légitimer complètement la définition arithmétique du nombre 
irrationnel et établir l’équivalence de cette définition et de celle du 
n° 114 qu’en admettant ci priori certains postulats indémontrables. 
Nous reviendrons sur ce point dans notre Deuxième Livre (chap. v, 
§ 7) et ferons connaître, d’autre part, une nouvelle définition du 
nombre irrationnel qui est indépendante à la fois de la notion 
d'abscisse et de celle de limite. 
119. Remarque sur le sens du mot abscisse. — Nous 
avons, au n° 112, défini l’abscisse comme une longueur. Mais 
étant donné l’analyse qui précède, les notions d’abscisse et de 
nombre sont pour nous rigoureusement équivalentes. C’est pourquoi 
nous pourrons désigner désormais par le même mot abscisse, la 
longueur définie au n° 112 [longueur-abscisse) et la mesure de celte 
longueur (nombre abscisse). 
7. — Expressions arithmétiques convergentes. Séries {') 
120. — Nous avons considéré le nombre irrationnel comme la 
limite d’une suite convergente de nombres rationnels. Il convient 
de compléter nos définitions en montrant comment il sera effecti 
vement possible de former de telles suites. Nous allons donc indi 
quer quelques-uns des procédés les plus simples au moyen desquels 
on peut définir la succession des nombres dune suite ; j entends 
par là : définir la loi qui permettra, étant considérée une suite, 
d’en calculer autant de termes que l’on voudra. |Les nombres de la 
suite peuvent ici être supposés irrationnels aussi bien que ra— 
lionnels. ] 
121. — Reprenons d’abord, et énonçons maintenant sous sa 
forme la plus générale, la définition des suites convergentes. 
(') Les notions de convergence et de série ne se précisèrent tout à fait 
dans l’esprit des géomètres qu’au début du xix e siècle, sous l’influence 
d’AeEL et Cauchy, en particulier. (Voir par exemple le Cours d’analyse 
algébrique de Cauchy, 1821). Cf. infra, Deux. Liv., ch. vi.