EXPRESSIONS ARITHMÉTIQUES CONVERGENCES. SERIES 
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«!, a 2 ,.., a n étant des nombres entiers moindres que 10 ; celte 
somme est un nombre décimal qui a n — i chiffres décimaux. 
Ainsi un nombre décimal auquel on ajoute indéfiniment de nou 
veaux chiffres décimaux est la somme d’une série convergente, —- 
somme qui peut être un nombre rationnel on un nombre irra 
tionnel. 
Considérons, par exemple, la mesure de la longueur île la cir 
conférence de rayon i. Celte mesure est un nombre irrationnel 
que nous appelons 2,7c et nous pouvons écrire, d’après le n° 67 
TC —!— — —I— 
io 
/1 
10 2 
ce qui est la même chose que l’égalité 
n — 3,145... 
expression qui approchera de plus en plus la mesure cherchée 
lorsque nous en déterminerons un plus grand nombre de déci 
males. 
Ln autre exemple de série convergente est la progression géomé 
trique de raison inférieure à 1 que nous avons considéré au n° 111 
1 
Considérons encore la série suivante : 
1 —i- — -+- 
1 
1 
1 . 2 
1 
1.2.3 
1 
—I— •. • 
1.2 ... n 
On démontre que celte série est convergente et l’on appelle (') 
e le nombre irrationnel qui est sa limite. La valeur approchée de 
ce nombre est : 
2,718 281 828459045... 
Le nombre e jouit de remarquables propriétés sur lesquelles nous 
aurons à revenir. Hermite a démontré en 187З qu’il est transcen 
dant, c’est-à-dire qu’il ne peut être considéré comme le résultat 
(1) Nous verrons plus loin comment historiquement le nombre e s’est 
introduit en algèbre.