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LES GRANDEURS 
d’an cane combinaison d'opérations fondamentales effectuées sur 
l’unité (pins précisément; on ne peut former aucune équation 
polynomale ayant pour coefficients des nombres rationnels dont 
le nombre e soit racine, voir p. 81, note 3). Pour obtenir une 
expression exacte du nombre e, il faudrait effectuer une combi 
naison comprenant une infinité d’opérations. 
123. — Les considérations qui précèdent peuvent être géné 
ralisées. Envisageons, d’une manière générale, une combinaison 
composée d’opérations dont le nombre peut etre augmente indé 
finiment suivant une loi déterminée. Cette combinaison est 
appelée « expression arithmétique ». Si la suite des nombres qu’elle 
représente (lorsqu’on multiplie indéfiniment les opérations) con 
verge vers une limite c, l’expression arithmétique est dite conver 
gente et le nombre c est sa limite. 
La série convergente définie ci-dessus est le type le plus simple 
d’expression arithmétique convergente, puisque c’est une combi 
naison d’additions seulement. Une combinaison d’additions et de 
soustractions sera également appelée série : ainsi l’expression : 
qui peut être prolongée indéfiniment suivant une loi bien apparente 
est une « série convergente ». Leibniz (*) a démontré qu’elle a pour 
limite le nombre j (tc étant la moitié de la mesure du cercle de 
rayon i). 
Lue autre expression arithmétique convergente est celle par la 
quelle brançois \ iète ( 3 ) propose de définir le nombre n : 
/ 
■ (') De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris 
rationalibus. Acta eruditorum, 1682, p. 4 r, et suiv. et Math. Werke, t. V, 
p. u8. 
( 2 ) Variorum de rebus mathematicis responsorum /¿ierVIII, chap, xvm, 
r5 97-