LES GRANDEURS 
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négatifs) dont sont affectés les deux termes consécutifs de la progres 
sion géométrique entre lesquels est compris le nombre a [c’est-à- 
dire tels que 6 a? < a < 6 a ?+i] : je dirai que a s est une valeur 
approchée par défaut du logarithme de base b de a, tandis que 
en est une valeur approchée par exces. Plus la raison r est 
petite, plus a 9 est rapproché de cc q+l et les nombres b x ‘, b\+>i du 
nombre a : j’en conclus que, lorsque la raison r devient indéfini 
ment voisine de zéro, a q et « 9+1 se rapprochent indéfiniment d’un 
même nombre-limite qui sera, par définition, le logarithme (exact) 
du nombre a. 
La définition ainsi formulée suppose bien entendu qu’il existe 
dans la progression géométrique deux termes consécutifs 6 a *, 
b^q+i entre lesquels est compris le nombre a. Pour qu’il en soit 
ainsi, il faut et il suffit cjue le nombre a soit positif. En effet, les 
termes de la progression géométrique, qui sont des puissances 
d’un nombre positif, sont tous, positifs. Et nous savons d’autre 
part, que si nous prolongeons indéfiniment la progression vers la 
gauche et vers la droite, nous obtenons à gauche des termes aussi 
petits que nous voulons, et à droite des termes arbitrairement 
grands. Les termes de la progression sont d'ailleurs plus grands 
que i ou plus petits que i suivant que leur exposant est positif ou 
négatif : donc un nombre positif a aura un logarithme positif ou 
négatif suivant qu’il est supérieur ou inférieur à i. 
On pourra toujours, d’après ce qui précède, calculer le 
logarithme de a avec une approximation arbitrairement grande. 
Si, par exemple a 2 et a ?+1 diffèrent de moins de io~‘, ces nom 
bres seront des valeurs approchées du logarithme à moins de io~ 7 
près : une valeur plus approchée, supposée écrite dans la notation 
décimale ( ] ), ne différerait de a q et qu’à partir du huitième 
chiffre décimal ; c est pourquoi nous dirons en ce cas que les va 
leurs approchées a q et du logarithme ont sept décimales 
exactes. 
En resume, tout nombre positif possède un logarithme de base b, 
togai ithme dont on peut calculer, sous forme de nombre décimal 
*) 45 î a i> a î+i, etc. étant positifs ou négatifs, c’est leur valeur ab 
solue, bien entendu, que nous supposons écrite dans la notation décimale.