SECTIONS PLANES DU CONE
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généralisées par Apollonius de Perga, dont le Traité des Coni
ques (Ktovtv'.ai, — l’un des plus beaux monuments de la géométrie
grecque, — fit autorité jusqu’à la fin du xvn® siècle. Apollonius
étudia en effet les intersections que détermine sur la surface d’un
cône ou cylindre droit (*), et plus généralement d’un cône ou
cylindre oblique quelconque (voir p. gy et gg), un plan disposé
d’une manière arbitraire. Tl démontra que ces courbes ne diffèrent
pas de celles qu’étudiait Archimède — ou, en d’autres termes,
qu’étant donné l’une quelconque d’entre elles, il existe toujours un
cône droit sur lequel elle peut être placée de telle sorte que son
plan soit perpendiculaire à une génératrice {vide supra).
239. — U ne nous est pas possible de reproduire ici les démons
trations d’Apollonius qui sont,
pour nous modernes, fort diffi- /\ S
ciles à suivre, habitués que nous / \
sommes aux voles rapides de la A X--- \
géométrie algébrique. La méthode /V ''x\
de Descartes nous permet, en /
effet, d’étudier par le calcul / \
toutes les propriétés des sections / \
coniques sans sortir du plan, A(
c’est-à-dire sans nous préoccuper
du cône ou des cônes dont ces Fig- ll *i-
courbes sont sections. Desargues et Pascal, cependant, plus
géomètres qu’algébristes, se référaient encore à la définition pre
mière des sections coniques. Ils surent en tirer un parti nouveau
en approfondissant à cette occasion la théorie de la projection ou
perspective (197).
(*) On démontre en particulier que l’intersection d’un cône droit par
un plan est : une ellipse si le plan mené par le sommet du cône parallè
lement au plan sécant est extérieur au cône (dont on suppose la surface
indéfiniment prolongée de part et d’autre du sommet) ; une hyperbole si
le plan parallèle considéré coupe le cône (il le coupe alors suivant deux
droites, génératrices du cône) ; une parabole si le plan considéré est tan
gent au cône (c’est-à-dire s’il ne le traverse pas, mais le touche, est en
contact avec lui, le long d’une génératrice). Exceptionnellement si le
plan sécant passe par le sommet du cône, l’intersection se réduit à deux
droites (deux génératrices), ou à une droite, ou au seul sommet.
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