LIEUX GEOMETRIQUES. ÉTUDE DES COURBES
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Considérons, par exemple, un ensemble de droites telles que
AB, A'B , AB (fig. 1G0) dont la longueur est la même et dont
les extrémités sont sur deux droites rectangulaires données X'OX,
Y'CTY. On démontre que toutes ces droites
sont tangentes à une même courbe qui a la
forme représentée par la figure 164 (chacune
d'elles touche la courbe en un point et un
seul) ; celte courbe se
trouve entièrement dé
finie par le caractère
que nous en indiquons,
à savoir qu’elle est tan
gente à toutes les droites jouissant de la
propriété ci-dessus énoncée : elle est appelée
hypocycloïde à quatre rebroussements, et l’on
dit qu’elle est Y enveloppe de l’ensemble des droites considérées.
D’une manière générale toute courbe définie par ce fait qu’elle
est tangente (en ses divers points) aux droites jouissant d’une cer
taine propriété commune est appelée courbe enveloppe ou enveloppe
de ces droites. Nous reviendrons ultérieurement sur la théorie des
enveloppes, et nous nous rendrons mieux compte alors de l’évolu
tion considérable qu'a dû subir la notion de courbe pour que cette
théorie devienne possible.
252. Courbes gauches. — Toutes les courbes que nous avons
considérées jusqu’ici sont des courbes planes (situées dans un
plan). Il est clair cependant qu’il est facile de concevoir des lignes
continues (courbes) dont tous les points n’appartiennent pas à
un môme plan. En effet, il est manifeste que les surfaces de
deux corps solides se coupent en général suivant une telle ligne :
or nous avons vu que la définition d’une ligne comme intersection
de surfaces est considérée comme excellente par les géomètres grecs.
Ne nous étonnons donc pas de voir ces géomètres étudier de
bonne heure certaines courbes de l’espace, — courbes que nous
appelons aujourd’hui courbes gauches ou à double courbure.
Ainsi Archytas de Tarente étudie (‘) des intersections formées (*)
(*) Cette étude était restée naturellement fort incomplète. Elle fut
reprise au xvn e siècle, par P. Courcier.
Bociaoux. — Les Principes de l’Analyse mathématique.
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