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LE CALCUL COMBINATOIRE 
Déjà, s’il faut en croire Plutarque, le philosophe Xenocrate se 
demandait, au iv e siècle av. J.-C., combien de syllabes on peut 
composer avec les lettres de l’alphabet. Plus précisément, cherchons 
combien il peut exister de mots composés de trois ou de quatre 
lettres (étant admis ou n’étant pas admis que la même lettre peut 
figurer plusieurs lois dans le même mot) ; demandons-nous de com 
bien de manières différentes peuvent être places douze convives autour 
d’une table ; proposons-nous de trouver les diverses combinaisons 
de chiffres que peut amener un joueur avec deux, ou trois, ou 
quatre dés ; cherchons le nombre de boulets sphériques que l’on 
peut placer dans une pile de forme pyramidale. Ce sont là des 
problèmes qui se résolvent tous au moyen des mêmes formules, — 
formules simples, claires, et dont l’application se fait pour ainsi 
dire mécaniquement. 
Etant donné ces qualités, il n’est point surprenant que le calcul 
combinatoire ait été considéré, dès son origine, comme l’un des 
plus précieux instruments de la science mathématique. Quelles ne 
furent pas les espérances suscitées par lui ! N’est-ce point le calcul 
combinatoire qui inspire au Père Mersenne ce rêve insensé de 
déterminer mathématiquement les plus belles des mélodies? 
Mersenne est frappé de ce fait que toute mélodie est une com 
binaison de sons ou d’intervalles, de même qu’un discours est une 
combinaison de mots composés eux-mêmes avec les vingt-quatre 
lettres de l’alphabet. Ne pourrait-on, dès lors, former à l’avance 
toutes les combinaisons fournies par les notes de la gamme ? On 
construirait ainsi mécaniquement la totalité des mélodies possibles, 
et parmi ces mélodies on recueillerait les plus belles. C’est ainsi 
que Mersenne est conduit à écrire un chapitre intitulé : Dans 
lequel il est traité des beaux airs et des beaux chants et montré s’il 
est possible de faire un chant sur un sujet donné qui soit le plus 
beau de tous ceux qui puissent être faits sur le même sujet (‘). 
255. — Passant du domaine de l’utopie à celui de la fantaisie, 
nous trouvons le calcul combinatoire à la base des problèmes de 
société auxquels on donne souvent le nom de récréations mathé- 
( 1 ) La Vérité des Sciences contre les sceptiques et pyrrhoniens, 162,5, 
chap. x (Bibl. N., R. 9668).