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LE CALCUL COMBINATOIRE 
Ces divers groupements des trois lettres aj , a it a 3 écrites dans 
des ordres différents sont appelés permutations ( J ) des trois lettres ; 
ce qui veut dire qu’on passe d’un groupement à un autre en per 
mutant, ou échangeant entre elles, les lettres a J5 a 2 , a 3 : ainsi, pour 
passer du groupement a,q 2 a 3 au groupement a :1 <2 3 a 2 , je fais passer la 
lettre a 3 à la place qu’occupait % et inversement. 
Il est facile de vérifier qu’il n’existe point d’autre ordre possible 
pour les lettres a A , a 2 , a :i que les six ordres indiques ci-dessas; 
d’où je conclus que les trois lettres a,, a 2 , a 3 comportent six per 
mutations. 
On peut démontrer ce fait a priori en déterminant plus généra 
lement le nombre des permutations de lettres en nombre quel 
conque. 
Considérons m objets désignés par des lettres affectées d’indices 
ai, • • •, —1, 
Nous appellerons permutations de ces m lettres tous les groupe 
ments que l’on peut former en plaçant ces m lettres à la suite les 
unes des autres dans des ordres différents. Ainsi les groupements 
ct|Ct 2 ... —\a„i, ci2.C1 [0,3 ... ûtfjj—etc. 
sont des permutations des m lettres. — Cela posé, nous allons 
démontrer le théorème suivant : 
258. Théorème. — Le nombre des permutations de m lettres 
est égal au produit des m premiers nombres, c’est-à-dire au produit 
1X2X3 ... X m. 
Pour démontrer ce théorème, nous emploierons la méthode dite 
récurrente ( 2 ), qui est devenue depuis Pascal l’une des plus impor 
tantes méthodes mathématiques : nous montrerons que si le 
théorème est vrai pour une certaine valeur de m, il est vrai pour la 
suivante (or il est vrai pour m — 1 ; donc il est vrai quel que 
soit m). 
( J ) Le mot permutatio a été employé pour la première fois par Jacques 
Bernouilli, ^4rs Conjectandi op. posthumum, Bâle, i7i3, 2 e part., ch. r 
(P- 74)- 
( 2 ) Le mathématicien sicilien Maurolyco ( 1494~ 1076) avait déjà em 
ployé cette méthode.