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LE CALCUL COMBINATOIRE 
miers nombres entiers) est souvent désigné (pour abréger l’écriture) 
par le symbole m! qui se lit : « factorielle m ». 
261. Arrangements. — Etant données m lettres distinctes 
ci\ 9 ci2» ... j a m —\, ü m , 
on appelle arrangements de ces m lettres p à p tous les groupe 
ments que Ton peut former en plaçant p de ces m lettres à la suite 
les unes des autres dans des ordres différents (cette définition suppose 
que (*) p •< m). —- Deux arrangements seront regardés comme 
distincts s’ils diffèrent soit par l'ordre, soit par la nature des 
lettres qui y figurent. Dans le cas où p =; m, les arrangements ne 
sont autres que les permutations des m lettres considérées (d’après 
la définition du n° 257). 
Exemple. — Soient données quatre lettres ai, (h, a 3 , ai. Les 
arrangements de ces quatre lettres deux à deux sont 
a 1 a 2 et a 2 a i a i a s et a i a i ; et a i a [ ; 
a 2 a 3 et a 3 a. 2 ; a 2 a f , et cr 4 a 2 ; a 3 a 4 et a 4 a 3 ; 
ces arrangements sont au nombre de 12. 
On démontre, d’une manière générale, le théorème suivant : 
262. Théorème. — Le nombre des arrangements de m lettres p 
à p est égal au produit de p nombres entiers consécutifs décroissant 
à partir de m. En d’autres termes, ce nombre d’arrangements, que 
je désignerai (suivant une notation consacrée)par le symbole A?’,,est : 
(2) A'; = m . (m — 1) ... (m — p -f- 1). 
Pour démontrer ce théorème nous emploierons de nouveau la 
méthode récurrente. 
Supposons formés tous les arrangements des m lettres p — 1 à 
P — i 5 dont le nombre est désigné par A,; -1 . Prenons l’un de ces 
arrangements et écrivons à la suite l’une quelconque des m — (p— 1) 
cest-à-dire m —p 4- 1 lettres qui n’y figurent pas ( 2 ) : en opérant 
(') Voir sur ce signe, p. 47, note i. 
( 2 ) L arrangement dont nous parlons ayant p — 1 lettres, il y a 
m — (p — 1), c’est-à-dire m — p + 1 de nos lettres qui n’y figurent pas.