■muni 
LE CALCUL COMBINATOIRE 2 05 
ainsi avec ces m — /) -+- i lettres successivement, nous obtenons 
m — p i arrangements de nos m lettres p à p. Faisant la même 
série d'opérations à partir de l’un quelconque des arrangements 
des m lettres p —i à p — i, nous obtiendrons A,JJ -1 fois (m—p -+-1) 
arrangements de nos lettres p à p, donc en tout A^~ 1 . (m — p -+- 1) 
arrangements. 
Je dis que les arrangements ainsi obtenus sont tous distincts et 
constituent la totalité des arrangements des m lettres p h p. 
En effet : i°Deux quelconques des arrangements obtenus comme 
il vient d’être dit sont distincts, car, ou ils sont déduits d’arrange 
ments des m lettres p — 1 à p — 1 qui sont distincts (et alors ils 
diffèrent par l’ordre ou la nature de leurs p— 1 premières lettres), 
ou ils diffèrent par leur dernière lettre. — 2 0 Tout arrangement 
des m lettres p h p est formé d’un arrangement des m lettres 
p — 1 à p — 1 suivi d’une dernière lettre différente ; donc cet 
arrangement est l’un de ceux que nous avons construits tout à 
1 heure. 
\insi le nombre A,£ -1 . (m — p -- r 1) obtenu ci-dessus est le 
nombre total Af„ des arrangements de ni lettres p à p, et nous avons 
la formule 
(3) A& = A»- 1 . (m — p H- 1). 
qui est valable pour toutes les valeurs du nombre entier m. 
Or le nombre des arrangements de m lettres 1 à 1 se réduit évi 
demment à m. Donc A m = m. La formule (3) nous donne par 
conséquent 
Ai = A*,. (m — 3 + 1) = m X (m — 1) 
Af„ — A2,(m — 3 -h 1) = A^. (m — 2) = m X (m — 1) X (ni — 2) 
et ainsi de suite ; finalement 
A m = m X (m — 1) X (m — 2) ... (m — p 2) X (m — p -f- 1). 
263. Remarque. — D’après la définition du n° 261, les lettres 
qui figurent dans un même arrangement sont toutes distinctes. On 
a quelquefois l’occasion de considérer des groupements de lettres qui 
ne satisfont pas à cette condition : on comptera ces nouveaux grou-