293. Formules homogène» Application à la géométrie. —
Nous avons expliqué au n" 101 en quoi consiste l'homogénéité d'une
relation établie entre grandeurs géométriques. Nous savons d’ail
leurs qu’à une telle relation correspond toujours une égalité numé
rique exprimant que la mesure d’une certaine grandeur est égale à
la mesure d’une autre grandeur de même espèce Plus précisément,
si, ainsi qu’il arrive en géométrie, les grandeurs sont définies
comme résultats d’opérations effectuées sur des longueurs données,
et si l’on désigne par des lettres a, b,.. les nombres qui mesurent
ces longueurs, l’égalité numérique à laquelle on a ailàire se pré
sente sous la forme d'une égalité entre deux expressions algé
briques contenant les lettres a, è, c, . . Supposons, en particulier,
que ces expressions soient des polynômes en a, b, c, ..., ce qui a
lieu si la relation considérée affirme qu’une certaine somme (’) de
grandeurs de même espèce est égale à une autre somme de gran
deurs : il résulte de l’homogénéité de la relation géométrique que
les deux polynômes doivent être tous deux homogènes ( 2 ) et de
même degré par rapport aux quantités a, b, c.
On dit alors que la formule qui exprime l égalité des deux poly
nômes est une formule homogène.
Remarque. — Les relations géométriques se traduisent, disons-
nous, par des formules homogènes. II en est ainsi du moins à con
dition que les mesures de toutes les longueurs qui interviennent dans
la relation soient désignées par des lettres. Si l’une de ces mesures
était donnée numéiiquement, — par exemple, si l’une des lon
gueurs considérées était prise pour unité, auquel cas (il est facile
de s en rendre compte) sa mesure serait i, — la relation ne serait
pas nécessairement homogène par rapport aux mesures des autres
longueurs désignées par des lettres. C’est ce qu’observe Descartes,
lorsqu'il dit au livre I de sa Géométrie (Œuv. t. YI p. 171) : « Il
est aussi a remarquer que toutes les parties d’une même ligne se
Ou plus généralement une combin lison de sommes et différences,
c’est-à-dire une somme algébrique [ride p. 287, note 1).
( 2 i D où le choix du mot« homogène » pour désigner le ca artère algé
brique défini au n° précédent.
