TRANSFORMATIONS CLASSIQUES 
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lorsqu’on y remplace les lettres a et h par des monômes quel 
conques. 
Or en effectuant les multiplications 
(a 4- b) (a -l- b), (a — b) (« — b), etc., 
nous parvenons aisément aux identités (') suivantes, dont les se 
conds membres sont les « développements » (voir 285) de a-h b] 2 , 
(a — b) 2 , etc. : 
(I) (a + 6)2 = (a 6) (a + b) = a 2 4- 2 ab + b 2 
(II) (a — b) 2 = (a — b) {a - b) = « 2 — a ab 4- b 2 
(III) (a 4- ù) 3 — (a 4- fe) 2 (a 4- 6; =; a 3 4- 3n 2 è 4- 3ab 2 4- 6 3 
(IV) (a — à) 3 = a 3 — 3a 2 b 4- 3 ab 2 — fe 3 
(V) (a 4- 6)* = a 1 4- 4« 3 6 4- 6a 2 6 2 4- 4a6 3 4- b 1 
On peut continuer ainsi indéfiniment. Mais n’y aurait-il pas 
moyen d’écrire une identité symbolique qui donnât la formule de 
la puissance (a 4- b) m quel que soit l'entier m? La formule deman 
dée sera facile à obtenir si l’on utilise les symboles de l’arithmé 
tique combinatoire que nous avons fait connaître à la fin de notre 
Premier Livre. D’ailleurs les coefficients numériques qui figurent 
dans le développement de (a 4- b)’ n ne sont autres que les nombres 
situés sur une même ligne diagonale (ou base) du triangle arithmé 
tique de Pascal (n° 19) ; c’est là un fait remarquable qui était déjà 
connu au xv e siècle [cf. en particulier, Slifel, Arithmetica in 
tegra, 1543, p. 46] et que Pascal a définitivement élucidé. 
297. — Pour former le développement de (a 4- b) m , nous allons 
tout d’abord nous demander quel est le développement du produit 
P = [a, 4- bj 1 (ci 4- b2) ••• (a 4— b,,,), 
où b 1, 6 2 , ... b,„ sont ni nombres différents. 
Ce développement peut évidemment être obtenu par le procédé 
suivant. Choisissons une lettre (a ou 61) dans le premier facteur, 
puis une lettre (a ou b.,) dans le second facteur, et ainsi de suite 
(') Les identités sont ordonnées par rapport aux puissances décrois 
santes de a, par rapport aux puissances croissantes de b.