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LE CALCUL ALGÉBRIQUE 
et l’on constate que le nombre x' — \/y H- \J z est racine de l’equa 
tion (7). 
Mais ici se présente une difficulté que Tartaglia n’a pas appro 
fondie. L’inconnue auxiliaire doit être racine de l’équation du 
second degré 
or, cette équation ne peut être résolue que si B 2 ;> 4(^3 ) [voi 
voir 
les remarques faites à la fin du n° 339 sur l’équation x l -t- G = Bæ], 
■ 3 
Lorsque B 2 est inférieur à 4 ^ ) > l a valeur de y n’existe plus (est 
« imaginaire »). Faut-il en conclure qu’en ce cas l’équation du 
troisième degré (7) n’a pas de racine? Ce serait se tromper grave 
ment : non seulement l’équation a une racine positive comme au 
cas où l’on supposait B 2 <C 4(5 ) , mais elle possède en outre 
deux racines négatives qu’elle n’avait pas alors. C’est ce que nous 
allons vérifier en suivant la voie indiquée par François Yiète (*). 
On déduit des formules de la trigonométrie que, si l’on désigne 
par u un nombre positif quelconque, on a ( 2 ) 
(9) 
) COS 3« = 4 COS 3 a — 3 COS U. 
Mettons alors l’équation (7) sous la forme 
(10) 
x s — 3 r 2 x — hr 2 
3B 
en posant r = y/^ h = d’où A = 3 r 2 , B = hr 2 . 
( 1 ) Francisci Vietæ'Fontenæensis De æquationum recognitione et emenda 
tione (169)), publ. en i6i5, « At elegantius, dit Viète (p. 12, cf. Opera, 
éd. Schooten, p. 91), et præstantius ex analyticis Angularium sectionum 
hujus modi æqualitatum constitutio eruitur ». Et il indique comment 
l’équation 3ooa: — œ ÿ — 432, par exemple, a pour racines les nombres 
9T+ et 9 — y/Sy (la troisième racine est •— 18) [quum dicetur 3oo N 
(3oo fois le Nombre inconnu) — 1 C (Cube de l’inconnue) æquari 432, fiet 
unus numerus 9 + ^/57 vel 9 — /57 , 
( 2 ) On obtient cette égalité en appliquant à cos 2u, sin 2u, cos 3u, les 
formules du n° i63 donnant cos (a + b), sin [a + 6), et remplaçant sin 2 u 
parji — cos 2 u (n° 153). — Cf. infra,, n° 382.