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LE CALCUL ALGEBRIQUE 
Faisons le changement d’inconnue x 
devient 
t — 
u i,, 
Y a î 1 equation 
t — 
3 a. 
t — 
3a, 
o. 
13 + {l — + (h 
Développant le cube et le carré d’après les formules du n° 296, 
et ordonnant par rapport à t, nous constatons que le coefficient 
du terme en t 2 est nul, et nous obtenons l’équation : 
b 2 \. _ / d bc 4è 3 \ _ 
Ba 2 27a 3 / °’ 
équation qui est de la forme (12) [l’inconnue s’appelant t au lieu 
dex]. Si donc on sait résoudre l’équation de la forme (12), on 
saura, du même coup résoudre l’équation (11). Nous pouvons, par 
conséquent, nous borner à l’étude de l’équation (12). 
L’équation (12) a toujours une ou trois racines. 
On démontre qu’elle a une racine lorsque 4p z 27q 1 y> o, et 
trois racines lorsque 4p 3 + 27q 2 <C o. 
Pour résoudre l’équation, en emploie d’ordinaire dans le second 
cas une méthode trigonométrique, telle que celle de Yiète, et, dans 
le premier cas, la méthode de Tartaglia, que l’on applique généra 
lement comme il suit (*) : 
Posons y h- z — x, 3yz = p, ce qui revient à faire le changement 
d’inconnue (n° 330) x — y -t- . Remplaçant x par cette valeur 
dans (12) on a une équation en y qui, si on y regarde y 3 comme 
1 inconnue, est du second degré (cf. 344) ; on remarque que le 
cube z 3 (z étant défini comme il a été dit) satisfait à la même 
équation, en sorte que les deux racines — ~ ~ y \ 2^7 ce ^ e 
équation donnent les valeurs cherchées y 3 et z 3 \ donc, on a : 
x = y -h z 
V-Wï+sV-î-Vi+iv 
Dans le cas où 4p 3 -h 27^ = o, on constate que l’équation a 
une racine double (comptant pour deux) ; elle a en outre une ra 
cine simple. 
( 1 ) Cf. une lettre de Huygens à Schooten, Œuv, de Huygens, La Haye. 
x888, I, p. 33o,